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Problèmes de l'année 2019-2020

Problème n ° 89

Le nombre mystère, le corrigé

Enoncé du problème n° 89

Je suis un nombre composé de deux chiffres.
Quand on additionne mes deux chiffres, on trouve ma moitié.
Quand on permutte mes deux chiffres, on trouve le carré de ma moitié.
Qui suis-je ?

Correction du problème n° 89
Notons $a$ le chiffre des dizaines et $b$ le chiffre des unités.
Le nombre $N$ cherché est donc $N=10a+b$.
  • Quand on additionne mes deux chiffres, on trouve ma moitié. $$a+b=\dfrac{10a+b}{2}$$ $$\begin{array}{rl} a+b=\dfrac{10a+b}{2} & \iff 2(a+b)=10a+b\\ & \iff 2a+2b= 10a+b\\ &\iff b=8a \end{array}$$
  • Quand on permutte mes deux chiffres, on trouve le carré de ma moitié.
    En permutant les chiffres, le nombre devient $ba$, soit $10b+a$.Ainsi :
    $$10b+a= \left( \dfrac{10a+b}{2}\right)^2$$ $$\begin{array}{rl} 10b+a= \left( \dfrac{10a+b}{2}\right)^2 & \iff 10b+a=\dfrac{(10a+b)^2}{4}\\ & \iff 4(10b+a)=(10a+b)^2\\ &\iff 40b+4a=100a^2+20ab+b^2\\ &\iff 100 a^2+20ab+b^2-40b-4a=0\\ &\iff 100a^2+20a\times 8a+(8a)^2-40\times 8a-4a=0\\ &\iff 100a^2+160a^2+64a^2-320a-4a=0\\ &\iff 324a^2-324a=0\\ &\iff 324a(a-1)=0\\ &\iff a= 0\text{ ou } a=1 \end{array}$$
$a=0$ donne $b=0$ ainsi $N=0$, nombre qui n'a pas deux chiffres. Il est donc rejeté.
$a=1$ donne $b=8a=8$ ainsi $N=10a+b=18$.
Conclusion: le problème a une seule solution $N=18$.

Zyad CADORET

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