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Problèmes de l'année 2019-2020

Problème n ° 91

Une histoire de course, le corrigé

Enoncé du problème n° 91

Enoncé du problème n° 91

Alexandre, Bertrand, Claude, Dominique, Étienne et Francis sont les six concurrents classés en tête d'une même course. A la fin de celle-ci chacun fait une déclaration.

  • Alexandre : « Dominique est arrivé après Étienne ».
  • Bertrand : « Alexandre est arrivé après Étienne ».
  • Claude : « Francis est arrivé après Étienne ».
  • Dominique : « Bertrand est arrivé avant moi «.
  • Étienne : « Claude est arrivé après Francis ».
  • Francis : « Je suis arrivé troisième ».
Ceux qui sont arrivés après Étienne ont tous menti, les autres ont dit la vérité.
Pouvez-vous retrouver le classement de la course ?
Correction du problème n°91
On nomme les personnages par la première lettre de leur prénom et pour indiquer que l'un est arrivé après l'autre on utilisera le symbole d'inégalité .\\ Ceux qui sont arrivés après Étienne ont tous menti, les autres ont dit la vérité, donc Étienne dit vrai on en déduit que C est arrivé après F (C>F).
Supposons que C dise vrai on aurait F>E et comme C>F on aurait C>E et donc C mentirait, il y a contradiction on en déduit que C ment et donc que F est arrivé avant E (E>F).
De ce fait F dit vrai donc il est troisième (F=3) ce qui implique que E> 4.
On ne peut pas avoir E=6 puisque C>E donc E=4 ou E=5. Si on avait E=5 alors seul C mentirait et donc A dirait la vérité ce qui n'est pas possible. Donc E=4 et A ment d'où E>D. On a trouvé deux menteurs A et C qui occupent les places 5 ou 6.
D dit donc vrai (B>D) mais comme les places 3 et 4 sont occupées par F et E, on a donc D=2 et B=1.
Il y a donc deux classements possibles du premier au sixième : B, D, F, E, A, C ou B, D, F, E, C, A

Luc Giraud

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