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Problèmes de l'année 2019-2020

Problème n ° 92

Histoire de joueurs, le corrigé

Enoncé du problème n° 92

Un jeu, quatre joueurs et 1 table. A chaque partie le perdant paie à chacun des trois gagnants le montant exact que chacun a sur lui.
Quatre parties jouées, chaque joueur perdant une partie.
A la fin ils ont chacun la même somme de 40 € .
Avec quelle somme chaque joueur a-t-il commencé la partie ?

Correction du problème n°92
Notons $X, Y, Z$ et $T$ les quatre joueurs et $x, y, z$ et $t$ leurs avoirs en début de partie. L'argent étant échangé entre les joueurs on peut affirmer que $$x + y + z + t = 160.$$ Supposons que $X, Y, Z, T$ perdent dans cet ordre.
Alors après avoir perdu, $X$ possède $x-y -z -t$ puis il gagne trois fois donc en fin de jeu $X$ possède $8(x-y-z-t) = 40$ à savoir $$x - y - z - t = 5$$ Passons à $Y$ (ici un logiciel de calcul formel est pratique !) : à l'issue de la première partie (qu'il gagne) il possède $2y$, à l'issue de la deuxième (qu'il perd) il possède $3y - x - z - t$ et à la fin du jeu il possède $4(3y - x - z - t) = 40$ à savoir $$3y - x - z - t = 10$$ Pour $Z$ : à l'issue de la deuxième partie il possède $4z$ puis il perd il lui reste donc $-x - y + 7z - t$ et à la fin de la partie il possède $-2x - 2y + 14z - 2t = 40$ à savoir $$-x - y + 7z - t = 20 .$$ on a donc à résoudre le système : $(S)\left\lbrace \begin{array}{lcccl} x& + y &+ z &+ t &= 160\\ x &- y &- z &- t &= 5\\ -x& +3y &- z&- t &= 10\\ -x& - y &+ 7z &- t &= 20 \end{array}\right.$
On peut ici aussi utiliser un logiciel de calcul formel ou alors en combinant la première équation avec la deuxième on obtient $2x = 165 $ ,soit $ x = 82, 5$ .
Avec la troisième et la deuxième on obtient $4y = 170 $, soit $y = 42, 5$.
Avec la quatrième et la troisième on obtient $8z = 180$ ,soit $z = 22, 5$ et on termine par $t= 12,5.$
$ x = 82, 5;y = 42,5 ;z = 22, 5$ et $t= 12,5.$

Luc Giraud

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