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Problèmes de l'année 2019-2020

Problème n ° 73

Echafaudage, le corrigé

Enoncé du problème n° 73

Deux planches : une grande (AB de trois mètres) et une petite (CD de deux mètres) sont appuyées sur deux murs.
Elles se croisent à un mètre du sol qui est horizontal.
Quelle distance sépare les deux murs ?

Correction du problème n°73

Notons \(x\) la distance cherchée. On utilise d'abord le théorème
de Thalès qui donne, puisque \(OH = 1\), dans un premier temps
\(\dfrac{AH}{x}=\dfrac{1}{BC}\) et donc \(AH =\dfrac{x}{BC}\; (1)\) 


Puis $$\dfrac{1}{AD}=\dfrac{HC}{x}=\dfrac{x-AH}{x}=1-\dfrac{AH}{x}$$
on en déduit que $$AH=x-\dfrac{x}{AD}\; (2)$$

De (1) et (2) on tire \(\dfrac{1}{BC}=1-\dfrac{1}{AD} \) soit \(\dfrac{1}{BC}+\dfrac{1}{AD}=1\)


Mais comme \(BC =\sqrt{9-x^2}\) et \( AD =\sqrt{4-x^2} \) on obtient au final
$$ \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}=1$$
En notant \( f \) la fonction de \( [ 0 ; 2 ]\) dans \( \mathbb R \) telle que \( x \mapsto f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{9-x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}} \)

il suffit de résoudre l'équation \( f(x) = 1\).

Le plus simple est d'utiliser un traceur de courbe qui permet de donner une valeur de \( x\) au centimètre près : 1, 23 m
1, 23 m environ sépare les deux murs.

Luc Giraud

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