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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 74

Entiers particuliers, le corrigé

Enoncé du problème n° 74

Les entiers 22 et 123 font partie des entiers ayant la particularité suivante: dans leur écriture dans le système décimal, la somme des chiffres est égale au produit des chiffres.
Pouvez-vous trouver le nombre d'entiers s'écrivant avec 5 chiffres (dans le système décimal) qui possèdent aussi cette propriété ?

Correction du problème n°74
On peut remarquer que le chiffre 0 ne doit pas figurer dans l'écriture et que l'on peut limiter la recherche aux entiers s'écrivant $$ a10^4 + b10^3 + c10^2 + 10d + e$$ tels que les chiffres $a, b, c, d$ et $e$ vérifient $a \leq b \leq c \leq d \leq e $ (il suffira alors de permuter).
Dans ce cas on a : $a+b+c+d+e \leq 5e $ et donc $abcde \leq 5e $ d'où (puisque 0 ne figure pas) $abcd \leq 5 $
En construisant un arbre on s'aperçoit alors que $(a, b, c, d)$ ne peut prendre que les valeurs : $$(1,1,1,1), (1,1,1,2), (1,1,1,3), (1,1,1,4), (1,1,1,5), (1,1,2,2)$$ Reste à déterminer $e$ dans chacun des cas en éliminant le cas $(1,1,1,1)$ puisque dans ce cas le produit vaut $e$ et la somme est strictement supérieure à $e$ .
Par exemple dans le cas (1, 1, 1, 2) il n'y a que la possibilité $e = 5$.
Au final les entiers cherchés s'obtiennent en permutant les chiffres de 11125, 11133 et 11222.
Il y a 20 entiers correspondant à 11125, et 10 dans chacun des deux autres cas. Soit donc au total 40 entiers.

Luc Giraud

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