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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 76

Argent de poche, le corrigé

Enoncé du problème n° 76

La mamie de Chloé, toujours étonnante, explique à sa fille comment elle va lui donner de l’argent de poche.
«  Pendant 10 mois, je procèderai de la manière suivante :

  • le premier mois, je te donnerai certain montant;
  • le deuxième mois, un montant différent de celui du premier mois. Puis chaque mois suivant, je te donnerai un montant égal à la somme des montants des deux mois précédents. »

Montrer que la somme totale perçue par Chloé au bout des 10 mois est un multiple de la somme perçue le 7ième mois. On précise que chaque montant est un nombre entier d’euros.
Correction du problème n°76
Soit $a$ le montant en euros reçu par Chloé le 1er mois.
Soit $b$ le montant en euros reçu par Chloé le 1er mois (avec $a\neq b$).
Voici le tableau des sommes reçues par Chloé chaque mois : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{1 er mois} & \text{2eme mois} & \text{3eme mois} & \text{4eme mois} & \text{5eme mois} & \text{6eme mois} & \textbf{7eme mois} & \text{8eme mois} & \text{9eme mois} & \text{10eme mois} \\ \hline a & b & a+b & a+2b & 2a+3b & 3a+5b & 5a+8b & 8a+13b & 13a+21b& 21a+34b\\ \hline \end{array} $$ La somme totale reçue par Chloé est donc $$ = 55a + 88b.$$ Or, $S = 55a + 88b = 11 × (5a + 8b)$.
Cette somme est donc bien un multiple de celle reçue par Chloé le 7ième mois.

Gilles LAURENT

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