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Problèmes de l'année 2019-2020

Problème n ° 78

Le logo, le corrigé

Enoncé du problème n° 78

Une entreprise a lancé un appel à projet pour la création de son logo : une flèche grise sur un support carré de côté 5cm. On a représenté ci-dessus deux figures possibles.
L’entreprise veut que l’aire de la flèche grise représente au moins un cinquième de l’aire du support carré.
Quelles solutions peut-on proposer à l’entreprise ?

Correction du problème n°78
Soit $x$ la longueur du côté du carré $EFGC$.
$x\in ]0 ; 5[$ .
L’aire du carré $EFGC$est $x^2$ cm$^2$.
L’aire du carré $ABCD$ est 25 cm$^2$.
L’aire du triangle rectangle $ABE$ est égale à celle du triangle $ADG$ soit $\frac{5\times(5-x)}{2}$ cm$^2$.
L’aire du logo est donc : $$\begin{array}{rl} \mathcal{A}&=25-x^2-2\times\frac{5\times(5-x)}{2} \\ &= 25-x^2-5(5-x)\\ &=25-x^2-25+5x\\ &=-x^2+5x \end{array}$$ Il s’agit donc de résoudre l’inéquation : $$-x^2+5x\geq \frac{1}{5}\times 25$$ Soit $-x^2+5x-5\geq 0$.
Etudions le signe du polynôme du second degré $P$ défini sur $ ]0 ; 5[$ par $P(x) = -x^2+5x-5$.
$\Delta= 5^2 - 4 \times (−1) \times(−5) = 5 > 0 $.
$P$ admet donc deux racines réelles : $$x_1=\dfrac{-5+\sqrt 5}{-2} \text{ et } x_2=\dfrac{-5-\sqrt 5}{-2} $$ soit $$x_1=\dfrac{5-\sqrt 5}{2}\approx 1,38 \text{ et } x_2=\dfrac{5+\sqrt 5}{2} \approx 3,62$$ $P$ est donc positif sur l’intervalle $\left] \dfrac{5-\sqrt 5}{2}; \dfrac{5+\sqrt 5}{2}\right[$ (signe contraire de $a = −1$ entre les racines).
On peut donc proposer à l’entreprise un nombre appartenant à l’intervalle$\left] \dfrac{5-\sqrt 5}{2}; \dfrac{5+\sqrt 5}{2}\right[$ comme longueur pour le carré $EFGC$.

Gilles LAURENT

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