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Problème n°33 : dans un trapèze ; le corrigé

  • Enoncé du problème n° 33

    • La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
    • Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?

    Auteur : Delphine GUILLERMARD

  • Correction du problème n° 33

    • La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
    • Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?

    Auteur : Delphine GUILLERMARD

    • Appelons le trapèze ABCD, avec (AB) // (CD), et nommons I et J les milieux respectifs des diagonales [AC] et [BD].
    • Dans le triangle ABC, appelons Δ la droite parallèle à (AB) passant par I. Comme (AB) et (CD) sont parallèles, Δ est également parallèle à (CD).
    • Δ coupe [BC] en son milieu K.
    • Dans le triangle BCD, Δ est parallèle à (CD) et coupe [BC] en son milieu, donc Δ coupe aussi [BD] en son milieu : Δ passe par J.
    • Nous obtenons aussi : JK = \(\frac{1}{2}\) CD
    D’après ce qui précède, J \(\in $ [IK] donc IK = IJ + JK.
    • I et K étant les milieux des côtés [AC] et [BC] du triangle ABC, on a IK = \(\frac{1}{2}\) AB donc IK = 7,5 cm ;
    • par hypothèse, IJ = 3 cm ;
    • on a vu dans le point précédent que JK = \(\frac{1}{2}\) CD ;
    • l’égalité IK = IJ + JK nous donne donc : 7,5 = 3 + \(\frac{1}{2}\) CD
Et nous obtenons en résolvant cette équation : CD = 9
Conclusion : La longueur de la petite base est 9 cm.
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Problème n°33 : dans un trapèze

Enoncé du Problème n ° 33

  • La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
  • Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?

Auteur : Delphine GUILLERMARD

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Problème n°32 : Cercles et chiffres ; le corrigé

  • Enoncé du problème n° 32

    • Ces cinq cercles délimitent 9 zones dans lesquelles on inscrit les chiffres de 1 à 9, de telle sorte que la somme des chiffres de chaque disque soit égale à 11.
    • Quelle est la valeur de \(x\) ?

    Auteur : Delphine GUILLERMARD

  • Correction du problème n° 32

    • Ces cinq cercles délimitent 9 zones dans lesquelles on inscrit les chiffres de 1 à 9, de telle sorte que la somme des chiffres de chaque disque soit égale à 11.
    • Quelle est la valeur de \(x\) ?

     

    Auteur : Delphine GUILLERMARD

    Pour plus de commodité, donnons un nom aux chiffres cherchés :
    Voici les différentes possibilités pour écrire 11 comme la somme de deux chiffres distincts, ou bien de trois chiffres distincts : $$\begin{array}{rl} 11 &= 9 + 2 \\ 11 &= 8 + 3 \\ 11 &= 7 + 4 \\ 11 &= 6 + 5 \\ 11 &= 1 + 2 + 8 \\ 11 &= 1 + 3 + 7 \\ 11 &= 1 + 4 + 6 \\ 11 &= 2 + 3 + 6 \\ 11 &= 2 + 4 + 5 \\ \end{array}$$ Les sommes de deux termes donnent les différentes possibilités pour les nombres a et b d’une part, et g et h d’autre part.
    On remarque que le chiffre 9 n’apparaît pas dans les sommes de trois chiffres, donc a ou h est forcément 9.
    La figure étant symétrique, choisissons \( a = 9\). Ce qui donne immédiatement \( b = 2\).
    On remarque maintenant que les chiffres 5 et 7 apparaissent dans une seule des sommes de trois chiffres, donc ce sont les nombres \( c\) et \( f \).
    Si \( c = 7\), alors, comme \( b + c + d = 11\), avec \( b = 2\), on aurait \( d = 2\), ce qui n’est pas possible car le chiffre 2 est déjà inscrit. On en déduit que \( f = 7\) et \( c = 5\).
    Revenons aux écritures de 11 comme somme de deux chiffres : les chiffres 9, 2, 5 et 7 étant déjà inscrits sur la figure, il en résulte que \( g + h = 3 + 8\). Comme \( f = 7\), on ne peut pas avoir \( g = 8\) (car la somme des chiffres du disque en bas à droite dépasserait 11), donc \( g = 3\) et \( h = 8\).
    Conclusion : Les derniers chiffres se déduisent facilement, et on obtient ainsi : \(x = 6\).