forgeron.png

Problème n°36 Le forgeron fainéant

Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 36

Le forgeron fainéant

Ennoncé du problème n° 36 Un forgeron souhaite former une chaîne de quinze maillons à l’aide de ces cinq chaînes de trois maillons : Pour cela, il peut ouvrir des maillons et les refermer. Comment peut-il réaliser cette chaîne en ouvrant un nombre minimum de maillons ?

Lire la suite

Diophante.jpg

Problème n°35 L'age de Diophante, le corrigé

Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 35

L'age de Diophante

Probablement d’origine syrienne, Diophante a passé l’essentiel de sa vie à Alexandrie. Il est l’auteur de trois ouvrages de mathématiques. Le plus célèbre, consacré à la résolution de problèmes s’appelle Les Arithmétiques. 
Bien que les problèmes soient présentés de façon abstraite (« Trouver deux nombres tels que leurs somme et produit forment des nombres donnés »), leur résolution se fait numériquement sur des cas particuliers. 
Diophante utilise des techniques algébriques sans faire référence à la géométrie .
Les mathématiciens des XVIe et XVIIe siècles, tels François Viète(1540 ; 1603) et Pierre de Fermat (1601 ; 1665), le surnommeront, à juste titre, le « père de l’algèbre ».
En effet, Diophante n’hésite pas à introduire un « nombre indéterminé  », qu’il appelle l’arithme et que l’on peut assimiler aujourd’hui à l’inconnue utilisée en algèbre. Voici l’épitaphe de Diophante donnant lieu à un exercice qui propose de calculer jusqu’à quel âge vécut le savant : Passant, sous ce tombeau repose Diophante. Ces quelques vers tracés par une main savante Vont te faire connaître à quel âge il est mort. Des jours assez nombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de son enfance ; Le douzième fut pris par son adolescence. Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula, Puis s’étant marié, sa femme lui donna Cinq ans après un fils qui, du destin sévère Reçut de jours hélas, deux fois moins que son père. De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut. Dis, tu sais compter à quel âge il mourut. Extrait d’Eutrope publié en 369 dans "L’Abrégé de l’Histoire Romaine" traduit ici en alexandrins par Emile Fourrey (Récréations mathématiques, 1899).

Appelons \( x \) le nombre d’années vécues par Diophante Les renseignements donnés dans le texte nous permettent d’écrire l’égalité suivante : $$x=\frac{1}{6}x+\frac{1}{12}x+\frac{1}{7}x+5+\frac{1}{2}x+4$$ $$x=\frac{25}{28}x+9$$ $$\frac{3}{28}x=9$$ $$x=84$$ ap_loadscript('http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS_HTML'); Donc Diophante est mort à 84 ans.

Lire la suite