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Problème n° 69, le lecteur étourdi le corrigé

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 69

Le lecteur étourdi, le corrigé

Les pages d’un livre sont toutes numérotées. J'ai additionné tous les numéros des pages mais étourdi je me suis trompé, j'ai compté une page deux fois et j'ai trouvé 2018. Quelle page a été comptée deux fois et combien de pages possède le livre au total ?

Les pages d’un livre sont toutes numérotées. J'ai additionné tous les numéros des pages mais étourdi je me suis trompé, j'ai compté une page deux fois et j'ai trouvé 2018. Quelle page a été comptée deux fois et combien de pages possède le livre au total ? Soit \(n\in\mathbb{N} \) le nombre total de pages du livre et \(k\in\mathbb{N} \) la page comptée deux fois. On sait que \(1\leq k \leq n\) $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 +\ldots +(n-2)+(n-1)+ n+k= 2018$$ Rappel : somme des premiers entiers : $$1 + 2 + 3 +\ldots(n-2 )+(n-1)+ n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ On cherche donc \(k\) entier tel que $$\begin{array}{rl} 1+2+3+4+5+\ldots +(n-2)+(n-1)+ n+k= 2018&\iff \dfrac{n(n+1)}{2}+k=2018 \\ & \iff n(n+1)+2k=4036\\ &\iff n^2+n+2k-4036=0 \end{array}$$ On obtient un polynôme de degré 2 dont l’inconnue est un nombre entier naturel. C’est une équation diophantienne. $$\Delta = 1-4\times 1\times(2k-4036) = 16145-8k$$ On cherche alors les valeurs de \(k\) qui font de \(16145 -8k\) un carré parfait.

# Lecteur etourdi from math import * L=[] for k in range(1,200): P=sqrt(16145-8*k) if sqrt(16145-8*k)==int(sqrt(16145-8*k)): L.append(k) print(L) def sol(k): return -1/2+sqrt(16145-8*k)/2 Sol=[] for k in L: if k+sol(k)*(sol(k)+1)/2==2018: Sol.append(k) print(Sol) for k in L: print(k+sol(k)*(sol(k)+1)/2) Conclusion: parmi les trois candidats à être solutions : 2;65;127;188 seul 2 convient. J'ai donc un livre de 63 pages et j'ai ajouté deux fois la page 2.

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Problème n° 68 : Amis ? Le corrigé

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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 68

Amis ? le corrigé

Dans une classe, il y a 22 élèves. Parmi eux, se trouvent Youssef et Céline. Parmi les 20 autres élèves, 13 sont amis avec Youssef, et 14 sont amis avec Céline. Combien d’amis communs ont au minimum Youssef et Céline ?

Notons $n$ le nombre d’amis communs à Youssef et Céline. Il y a donc $13-n$ élèves qui sont amis avec Youssef, mais pas avec Céline, et $14-n$ élèves qui sont amis avec Céline mais pas avec Youssef. Lorsqu’on ajoute : le nombre d’élèves amis avec Youssef seulement $13-n$ le nombre d’élèves amis avec Céline seulement $14-n$ le nombre d’élèves amis communs de Youssef et Céline $n$ on obtient au maximum 20 (n’oublions pas que des élèves de la classe pourraient n’être amis ni avec Youssef, ni avec Céline). Ceci se traduit par : $$\begin{array}{rl} 13-n+14-n+n& \leqslant 20\\ 27+n& \leqslant 20\\ n& \leqslant 7\\ \end{array}$$ Youssef et Céline ont au minimum 7 amis communs.

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