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Problème n°10 : Histoire de boulets ...

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Enoncé du Problème n ° 32

Un problème classique, autrefois dans les écoles militaires, constituait à déterminer le nombre de boulets que l'on entassait à proximité des canons.Les entassements pratiqués étaient sous forme de pyramide à base carrée ou à base triangulaire.

  • Déterminer en fonction de $k$ le nombre de boulets d'une couche.

  • Montrer que le nombre de boulets à $n$ couches est $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$.
  • Montrer qu'avec les boulets d'une pyramide à 8 couches et ceux d'une pyramide à 14 couches il est possible de constituer une autre pyramide. ( préciser le nombre de couches) .

Auteur : Luc GIRAUD

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Problème n° 9 salle modulable ...Le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 9

        • La ville de Fiestacity dispose d’une belle salle de spectacle modulable.
        • La salle peut être configurée de 3 manières différentes. Dans chacune de ces configurations, les sièges sont disposés en rectangle, chaque rangée comptant le même nombre de places. En enlevant à la configuration initiale tous les sièges du 1er rang, on peut augmenter de 4 unités le nombre de sièges de chaque rangée restante tout en gardant le même nombre total de places disponibles dans la salle.
        • On peut aussi décider d’ajouter 4 rangées de sièges à la configuration initiale, toujours sans modifier le nombre total de places dans la salle ; mais, dans ce cas, le nombre de sièges par rangée diminue de 11 unités.
        • Quel est le nombre total de places dans cette salle ? Justifier.

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n° 9

    Notons $x$ le nombre de rangées et $y$ le nombre de sièges d’une rangée.

    En enlevant à la configuration initiale tous les sièges du 1er rang, on peut augmenter de 4 unités le nombre de sièges de chaque rangée restante tout en gardant le même nombre total de places disponibles dans la salle.

    Ce qui se traduit par :

    $$xy= (x-1)(y+4)$$

    En développant :

    $$xy=xy+4x-y-4$$

    Soit :

    $$4x-y=4$$

    On peut aussi décider d’ajouter 4 rangées de sièges à la configuration initiale, toujours sans modifier le nombre total de places dans la salle ; mais, dans ce cas, le nombre de sièges par rangée diminue de 11 unités.

    Ce qui se traduit par :

    $$xy= (x+4)(y-11)$$

    En développant :

    $$xy=xy-11x+4y-44$$

    Soit :

    $$-11x+4y=44$$ On doit donc résoudre le système linéaire : $$\left\lbrace \begin{array}{lll} 4x-y&=&4~\\ ~ -11x+4y&=&44\\ \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{lll} 16x-4y&=&16~\\ ~ -11x+4y&=&44\\ \end{array} \right. $$

    En ajoutant les deux équations, on obtient :

    $$5x=60 \iff x= 12$$

    En reportant $x=12$ dans , $4x-y=4$ on obtient :$y=4x-4=44$

    Cette salle comporte 528 places. ( $44\times 12=528$)

    Auteur : Luc GIRAUD

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Problème n° 9 : salle modulable

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Enoncé du problème n ° 9

      • La ville de Fiestacity dispose d’une belle salle de spectacle modulable.
      • La salle peut être configurée de 3 manières différentes. Dans chacune de ces configurations, les sièges sont disposés en rectangle, chaque rangée comptant le même nombre de places. En enlevant à la configuration initiale tous les sièges du 1er rang, on peut augmenter de 4 unités le nombre de sièges de chaque rangée restante tout en gardant le même nombre total de places disponibles dans la salle.
      • On peut aussi décider d’ajouter 4 rangées de sièges à la configuration initiale, toujours sans modifier le nombre total de places dans la salle ; mais, dans ce cas, le nombre de sièges par rangée diminue de 11 unités.
      • Quel est le nombre total de places dans cette salle ? Justifier.

Auteur : Luc GIRAUD

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