Semaine des Maths 20017-2018 ; le lundi 12 mars, correction de l'énigme 1 ( Lycée 1)

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Enoncé de l'énigme n° 1 (Lycée 1)

Sophie possède 20 billets dont certains valent 5€ et les autres 10€.
Si ses billets de 5€ étaient des billets de 10€ et ceux de 10€ des billets de 5€, elle aurait 70€ de plus. Combien d'argent a Sophie ?

Correction de l'énigme n° 1 (Lycée 1)

        Soit $x$ le nombre de billets de 5 € et $y$ le nombre de billets de 10 €. La somme d’argent, en €, dont dispose Sophie est donc : $S= 5 x+ 10 y$. De plus, on a :$x +y = 20$.

        Si maintenant désigne le nombre de billets de 10 € et le nombre de billets de 5 € alors la somme d’argent, en €, dont disposerait Sophie serait : $S’= 10x + 5y =S + 70$.

        Soit $10x + 5y = 5x + 10 y+ 70$. Soit $5x − 5y = 70$.

        Soit, en simplifiant par 5, on obtient : $x− y= 14$.

        Il faut donc résoudre le système : $$\left\lbrace \begin{array}{ll} x + y &= 20~\\ x-y &= 14 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l } y = 20-x~\\ x+x-20 = 14 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l } y = 20-x~\\ 2x-20 = 14 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l } y = 20-x~\\ 2x = 34 \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l } y = 20-17=3~\\ x = 17 \end{array} \right. $$ La solution de ce système est le couple (17 ; 3).


        Sophie possède 17 billets de 5 € et 3 billets de 10 €.

      Elle possède alors $S= 5\times 17 10\times 3 = 115$ €.
Conclusion : Sophie possède 115 €.

Auteur : Gilles LAURENT

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