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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 40

Une équation? Le corrigé
Enoncé du problème n° 40

Combien existe-t-il de nombres réels \(x\) tels que : \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \; \) ?

Correction du problème n° 40
L’égalité \((x^2-7x+11)^{x^2-3x+2}=1 \)ne peut être obtenue que dans les 3 cas suivants.
  • 1er cas.
    \(x^2-3x+2=0 \).
    C’est-à-dire \((x-1)(x-2)=0 \)
    Soit \(x=1\) , avec \(x^2-7x+11=1-7+11=5\) et on a bien \(5^0=1\)
    Soit \(x=2\) , avec \(x^2-7x+11=4-14+11=1\) et on a bien \(1^0=1\)
  • 2ème cas.
    \(x^2-7x+11= 1\)
    C’est-à-dire \(x^2-7x+10= 0\)
    C’est-à-dire \((x-2)(x-5)=0 \)
    Soit \(x=2\) , avec \(x^2-3x+2=4-6+2=0\) et on a bien \(2^0=1\)
    Soit \(x=5\) , avec \(x^2-3x+2=25-15+2=12\) et on a bien \(12^0=1\)
  • 3ème cas.
    \(x^2-7x+11= -1\)
    C’est-à-dire \(x^2-7x+12= 0\)
    C’est-à-dire \((x-3)(x-4)=0 \)
    Et, soit \(x=3\) , avec \(x^2-3x+2=9-9+2=2\) et on a bien \((-1)^2=1\)
    Soit \(x=4\) , avec \(x^2-3x+2=16-12+2=6\) et on a bien \((-1)^6=1\)

    Finalement, 5 nombres réels conviennent : 1, 2, 3, 4 et 5.

Luc Giraud

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