Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 41

Combien de 1 ? Le corrigé
Enoncé du problème n° 41
Soit \(n = 9 + 99 + 999 +\cdots + 99 \cdots 9\), où le dernier nombre ajouté est constitué de 999 chiffres 9.
Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans \(n \)?
Correction du problème n° 41
Soit la somme :

\(n=9+99+999+9999+...+9999...999 \) Le dernier nombre de cette somme contenant 999 chiffres 9.

Cette somme comporte donc 999 termes et elle peut s’écrire :

\(n=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+.....+(10^{99}-1) \)
En changeant l’ordre des termes , on peut écrire :
\(n=10+100+1000+10000+...+10^{99}-999 \)
Soit encore :

\(n=11111...10-999 \) où le premier nombre de cette différence est constitué de 999 chiffres 1 et d’un chiffre 0.
On peut écrire \(n \) sous la forme :

\(n=111111...1110000+1110-999 \)
où le premier nombre de cette somme comporte 996 chiffres 1 et 4 chiffres 0.
Or \(1110-999=111 \)

Donc \(n \) peut s’écrire :
\(n=111111...110111 \)

Ainsi \(n \) est constitué de 996 chiffres 1, d’un chiffre 0, puis de 3 chiffres 1.
L’écriture de \(n \) comporte 999 chiffres 1.

Luc Giraud

Connexion

Recherche