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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 44

Les vélos; le corrigé
Enoncé du problème n° 44
Des vélos dans une petite villes des Pays-Bas.
Dans cette petite ville des Pays-Bas, le recensement fait apparaître 2000 familles et 5495 vélos.
Il n’y a aussi que trois catégories de familles, celles qui possèdent 2 vélos, celles qui possèdent 3 vélos et celles qui en possèdent 4.
On remarque aussi que deux de ces catégories comptent le même nombre de familles.
Combien de familles possèdent trois vélos ?
Correction du problème n° 44
Soit \(x , y\) et \(z \) les nombres respectifs de familles possédant deux, trois et quatre vélos.
On obtient alors le système d’équations suivantes : \(\begin{cases} x + y + z & = 2\,000 \\ 2x + 3y +4z & = 5\,495 \end{cases}\)
Comme deux de ces catégories comptent le même nombre de familles, il y a trois cas à étudier :
  • premier cas : \(x = y \);
  • deuxième cas : \(x = z\);
  • troisième cas : \(y = z\)
  1. Premier cas
    Si on suppose que \( x = y\) , le système devient alors \(\begin{cases} 2x + z & = 2\,000 \\ 5x + 4z & = 5\,495 \end{cases}\)
    On trouve alors \(x= 835\) et \(z = 330\).
  2. Deuxième cas
    Si on suppose que \(x = z\), le système devient alors : \(\begin{cases} 2x + y & = 2\,000 \\ 6x + 3y & = 5\,495 \end{cases}\)
    On trouve alors que le système n’a pas de solution.
  3. Troisième cas
    Si on suppose que \(y = z\), le système devient alors : \(\begin{cases} x + 2y & = 2\,000 \\ 2x + 7y & = 5\,495 \end{cases}\)
    On trouve alors \(x = \frac{3010}{3}\) et \(z =- \frac{1495}{3}\)
Après l’étude de ces trois cas, on en déduit qu’il y a 835 familles qui possèdent 2 vélos, 835 familles qui possèdent 3 vélos et 330 familles qui possèdent 4 vélos.

Luc Giraud

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