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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 45

À contre-courant; le corrigé
Enoncé du problème n° 45

Un bateau-mouche fait tous les jours le même parcours : il descend une partie de la Seine, fait demi-tour, et remonte à contre-courant jusqu’à son point de départ.
Un jour, la vitesse du courant est plus élevée que d’habitude.
Le bateau va-t-il mettre moins, autant ou plus de temps que d’habitude pour faire l’aller-retour ?
Le bateau va mettre moins de temps à l’aller mais plus de temps au retour.

Correction du problème n° 45
Si on note :
  • \(v\) la vitesse constante du bateau-mouche
  • \(v_0\) la vitesse du courant, avec bien sûr la condition \(v> v_0\).
  • \(T_1\) le temps mis pour faire le trajet avec le courant favorable $$ T_1=\dfrac{d}{v+v_0}$$
  • \(T_2\) le temps mis pour faire le trajet avec le courant défavorable $$T_2=\dfrac{d}{v-v_0}$$
$$T_{\textbf{Total}}=T_1+T_2= \dfrac{d}{v+v_0}+\dfrac{d}{v-v_0}$$ On pose \(v_0=x\).
On étudie alors les variations de la fonction \(\phi : x\mapsto \dfrac{d}{v+x}+\dfrac{d}{v-x}\) sur l'intervalle \([0;v[\).
Calculons sa dérivée : $$\begin{array}{rl} \phi '(x)&= -\dfrac{d}{(v+x)^2}-\dfrac{d\times (-1)}{(v-x)^2} \\ & = -\dfrac{d}{(v+x)^2}+\dfrac{d }{(v-x)^2} \\ &=\dfrac{d\left ( (v+x)^2-(v-x)^2 \right ) }{(v-x)^2(v+x)^2} \\ &=\dfrac{d\left ( v^2+x^2+2vx-(v^2+x^2-2vx) \right ) }{(v-x)^2(v+x)^2} \\ &=\dfrac{d\left ( 4vx \right ) }{(v-x)^2(v+x)^2} \\ \end{array}$$ La dérivée est clairement positive sur \([0;v[\).
Ainsi \(\phi \) est strictement croissante sur \([0;v[\).
Ce qui signifie que plus la vitesse du courant est importante, plus le temps mis pour faire l'aller-retour est important.

Luc Giraud

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