Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 46

Le paradoxe des anniversaires, le corrigé
Enoncé du problème n° 46

Dans une classe de 30 élèves, quelle est la probabilité pour que 2 élèves fêtent leurs anniversaires le même jour?

Avec 365 jours par an, une trentaine d'élèves dans la classe, on se dit qu'elle doit être faible...

Correction du problème n° 46

Eh bien justement, parlons en de la probabilité !
Il se trouve qu’elle n’est pas du tout négligeable :
dans un groupe d’environ 25 personnes, il y a plus de 50 % de chance que deux de ces personnes soient nées le même jour.
Ce résultat est tellement contraire à notre intuition qu’on l’appelle le paradoxe des anniversaires.
Pour les incrédules et les lycéens qui révisent les probabilités pour le bac, faisons ensemble le calcul pour un groupe de N personnes. Pour faire cela, on va prendre l'événement contraire, et calculer la probabilité P que toutes les personnes aient leur anniversaire un jour différent.
Et pour calculer cette probabilité, on va classiquement procéder par dénombrement.
Commençons par l’ensemble de tous les cas possibles :
pour la première personne, 365 dates sont possibles, pour la seconde aussi,
de même que pour la troisième
et toutes les autres.
Si on multiplie tout ça il y a donc 365\(^N \) cas possibles.
Maintenant quels sont les cas où les anniversaires sont tous différents :
pour la première personne il y a 365 choix,
pour la seconde il n’en reste que 364,
pour la troisième 363,
etc.
et pour la Nième seulement \((365-N+1)\). Si on multiplie tout ça on trouve la quantité \(365\times 36\times363\times\cdots (365-N+1)\) On peut donc calculer notre probabilité P qui vaut $$P= \dfrac{365\times 364\times363\times\cdots (365-N+1)}{365^N}$$ J’espère que vous me croyez pour l’application numérique, mais avec N=23 personnes on trouve P = 0,49.
Mais rappelez vous que P est la probabilité que les anniversaires soient tous différents.
Donc la probabilité qu’il y en ait au moins deux identiques est 1 - P, soit ici 0,51, c’est-à-dire 51 Et plus il y a de personnes dans le groupe, plus cette probabilité augmente.
Dans un groupe de 50 personnes, il y a plus de 95 % de chance que deux personnes aient leur anniversaire le même jour.
Une figure montrant l'évolution de cette probabilité :

Anniversaires

Le script Python pour obtenir le diagramme ...

# Probleme des anniversaires
 def proba(n):
 	Card_univers=365**n
 	P=365
 	for j in range(1,n):
 		P=P*(365-j)
 	return 1-P/Card_univers
 
 # Creation d'un nuage de points 
 from pylab import *
 x=[]
 y=[]
 for i in range(1,70):
	x.append(i)
 	y.append(proba(i))
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 z = np.array([1,70])
 t = np.array([0.5, 0.5])
 plt.plot(z, t)  
 plot(x, y, 'ro')   # modif
 plot([23],[proba(23)],'b')
 axis([-1,70,0,1])
 grid()          
 show()

Luc Giraud

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