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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 47

Le drapeau, le corrigé
Enoncé du problème n° 47

Un drapeau a la forme d’un triangle équilatéral.
Il est suspendu par deux de ses sommets en haut de mâts verticaux de 3 et 4 mètres.
Le 3ème sommet affleure exactement le sol.
Quelle est la longueur du côté de ce drapeau ?

Correction du problème n°47
L’observation de la figure doit vous faire penser aux triangles rectangles et aux formules de trigonométrie.
On pose \(AB = BC = CA = x, DC=y\) et \(CE = z \)
Les triangles \(ADC,BCE\), et \(AFE\) sont rectangles respectivement en \(D,E\) et \(F\), donc d'après la propriété de Pythagore, on a :
\(AC^2= AD^2+DC^2\) soit \(x^2=9+y^2\) soit \(y^2=x^2-9\) ( 1)
\(BC^2 = BE^2 + EC^2\) soit \(x^2 = 16 + z^2\) soit \(z^2 = x^2 - 16\).(2)
\(AB^2 = AF^2 + FB^2\) soit \(x^2 = 1 + (y + z)^2\) soit \(x^2 - 1 +y^2 + z^2 + 2yz \)(3)
L’addition de (1) et (2) nous donne : \(y^2 + z^2 = 2x^2 - 25\)
On remplace dans (3) : \(x^2 = 1 + (2x^2 - 25) + 2yz\) donc \(2yz = x^2 - 1 - 2x^2 + 25\) soit \(2yz = 24 -x^2\) soit \(4y^2z^2 = (24 - x2)^2\)
On remplace \(y^2\) et \(z^2\) par leur valeur donnée en (1) et (2) : $$4(x^2 - 9)(x^2 - 16) = (24 - x^2)^2$$ On obtient donc : $$4(x^4 - 16x^2 - 9x^2 + 144) = 576 - 48x^2 + x^4 $$ $$4x^4 - 100x^2 + 576 = 576 - 48x^2 + x^4 $$ $$ 3x^4 - 52x^2 = 0 $$ $$x^2(3x^2 - 52) = 0$$ $$x^2 = 0 \text{ ou } 3x^2 - 52 = 0$$ $$ x=0 \text{ ou } x= \sqrt{\dfrac{52}{3}} \text{ ou } x=- \sqrt{\dfrac{52}{3}}$$ Or \(x \) est une longueur non nulle, donc le côté du drapeau mesure \(\sqrt{\dfrac{52}{3}}\) mètres, soit environ 4.16 mètres.

Luc Giraud

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