Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 52

Un découpage, le corrigé
Enoncé du problème n° 52

Quelles sont les dimensions du rectangle ci-dessus sachant qu'il a été découpé en trois morceaux de même aire ?

Correction du problème n°52
L'égalité d'aire des deux triangles rectangles fournit : $$\dfrac{x(y-3)}{2}=\dfrac{(x-2)y}{2}$$ $$\begin{array}{rl} \dfrac{x(y-3)}{2}=\dfrac{(x-2)y}{2}&\iff xy-3x=xy-2y\\ &\iff 2y=3x \\ &\iff y= \dfrac{3x}{2} \end{array}$$ Par ailleurs l'aire du triangle rectangle de base \(x\) et de hauteur \(y-3\) est égale au tiers de l'aire du rectangle d'où : $$ \dfrac{x(y-3)}{2}=\dfrac{xy}{3} \iff 3xy-9x= 2xy \iff xy-9x= 0\; (1) $$ On reporte \( y= \dfrac{3x}{2}\) dans \((1)\). $$\begin{array}{rl} (1)&\iff x\times \dfrac{3x}{2}-9x=0 \\ & \iff 3x^2-18x =0\\ &\iff 3x(x-6)=0\\ &\iff x=0 \text{ ou } x=6 \end{array}$$ La largeur du rectangle vaut 6 et sa longueur vaut \( y= \dfrac{3x}{2}=9\).

Luc Giraud

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