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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 53

Points à coordonnées entières

Enoncé du problème n° 53

Ci dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple \((x,y)\) de coordonnées vérifie la relation \(x^2 — 2y^2 = 1\).
On s’intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est (1 , 0).
points entiers

  1. Donner quatre autres couples d’entiers \((x,y)\) tels que \(x^2 — 2y^2 = 1\).
  2. Soit \(a\) et \(b\) des entiers naturels. On pose \(A = a + 2b\) et \(B = a + b\).
    Exprimer \(A^2 — 2B^2\) en fonction de \(a^2 — 2b^2\).
    Donner un nouveau couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 - 2y^2 = 1 \) tel que \(x > 10\).
  3. Rédiger un algorithme affichant le premier couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 — 2y^2 = 1 \) et tel que \(x > 2 018\).
    Quel est le couple obtenu?

Luc Giraud

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