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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 53

Points à coordonnées entières, le corrigé
Enoncé du problème n° 53

Enoncé du problème n° 53

Ci dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple \((x,y)\) de coordonnées vérifie la relation \(x^2 — 2y^2 = 1\).
On s’intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est (1 , 0).
points entiers

  1. Donner quatre autres couples d’entiers \((x,y)\) tels que \(x^2 — 2y^2 = 1\).
  2. Soit \(a\) et \(b\) des entiers naturels. On pose \(A = a + 2b\) et \(B = a + b\).
    Exprimer \(A^2 — 2B^2\) en fonction de \(a^2 — 2b^2\).
    Donner un nouveau couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 - 2y^2 = 1 \) tel que \(x > 10\).
  3. Rédiger un algorithme affichant le premier couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 — 2y^2 = 1 \) et tel que \(x > 2 018\).
    Quel est le couple obtenu?
Correction du problème n°53

Ci dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple \((x,y)\) de coordonnées vérifie la relation \(x^2 — 2y^2 = 1\).
On s’intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est (1 , 0).
points entiers

  1. Donner quatre autres couples d’entiers \((x,y)\) tels que \(x^2 — 2y^2 = 1\).
  2. On obtient les couples \( (3 , 2); (-3 , 2);(-3 , -2);(3 ,- 2)\).
  3. Soit \(a\) et \(b\) des entiers naturels. On pose \(A = a + 2b\) et \(B = a + b\).
    Exprimer \(A^2 — 2B^2\) en fonction de \(a^2 — 2b^2\).
    Donner un nouveau couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 - 2y^2 = 1 \) tel que \(x > 10\).
  4. $$\begin{array}{rl} A^2 — 2B^2& =(a + 2b)^2-2 (a+b)^2\\ & =a^2+4ab+4b^2-2(a^2+2ab+b^2)\\ &=a^2+4ab+4b^2-2a^2-4ab-2b^2\\ &= 2b^2-a^2\\ &=-(a^2-2b^2)\\ &=-1 \end{array}$$ On fait agir deux fois la transformation , en posant \(C = A + 2B\) et \(D= A + B\). $$\begin{array}{rl} C^2 — 2D^2& =-(A^2-2B^2)\\ &=-(-1)\\ &=1 \end{array}$$ Ainsi le couple obtenu en faisant agir deux fois de suite la transformation est solution de l’équation \(x^2 — 2y^2 = 1 \).
    Ici si on part de \((a,b)=(3,2)\)
    On obtient \((A,B)=(a+2b,a+b)=(7,5)\)
    puis \((C,D)=(A+2B,A+B)=(7+2*5,7+5)=(17,12)\).
    On peut vérifier que \( 17^2-2\times 12^2=289-2\times 144=1\).
    Le couple \((17,12)\) est solution de l’équation \(x^2 — 2y^2 = 1 \).
  5. Rédiger un algorithme affichant le premier couple d’entiers \((x, y)\) solution de l’équation \(x^2 — 2y^2 = 1 \) et tel que \(x > 2 018\).
    Quel est le couple obtenu?
  6. 
    # Points a coordonnees entieres 
    		a=1
    		b=0
    		C,D=a,b
    		while C < 2018:
    			A,B=a+2*b,a+b
    			C,D=A+2*B,A+B
    			a,b=C,D
    			print([C,D])
    		print([C,D])
    
    On obtient le couple \((3363, 2378)\).
L'algorithme de la question 3

# Points a coordonnees entieres 
		a=1
		b=0
		C,D=a,b
		while C < 2018:
			A,B=a+2*b,a+b
			C,D=A+2*B,A+B
			a,b=C,D
			print([C,D])
		print([C,D])

Luc Giraud

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