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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 60

Le verger, le corrigé

Enoncé du problème n° 60

Aux quatre coins d’un jardinet rectangulaire, se trouvent un cerisier, un pommier, un pêcher et un noyer.
Biquette est attachée à un piquet, situé à 7 mètres du cerisier, à 9 mètres du noyer, et à 6 mètres du pêcher.
Chacun des arbres est assimilé à un point ; Biquette aussi est assimilée à un point.
Quelle doit être la longueur de la corde de Biquette pour qu’elle ne puisse pas grignoter l’écorce de ces arbres ?

Correction du problème n°60
On construit les rectangles ABDC, BDPE, BEP’F et BFNA comme indiqué ci-dessous :
Biquette
La corde de Biquette doit mesurer moins de 6 mètres pour qu’elle ne grignote ni le cerisier, ni le noyer, ni le pêcher ; mais pour qu’elle ne grignote pas non plus le pommier ?
Il s’agit donc de déterminer BP. Notons \(x\) cette distance.
On utilise le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABC, BPE, BEP’ et BFN. On obtient :
AB \(^2\) + AC \(^2\)= 49 , soit AB \(^2\)+ BD \(^2\) = 49 (1)
BE \(^2\) + EP \(^2\) = \(x^2\) , soit BE \(^2\)+ BD \(^2\) = \(x^2\) (2)
BE \(^2\) + EP’ \(^2\)= 36 , soit BE \(^2\) + BF \(^2\) = 36 (3)
BF \(^2\)+ FN \(^2\)= 81 , soit BF \(^2\)+ AB \(^2\) = 81 (4)
En soustrayant membre à membre les égalités (2) et (3) on obtient : BD \(^2\)– BF \(^2\)= \(x^2\) -36
En soustrayant membre à membre cette nouvelle égalité et l’égalité (1) on obtient :
- BF \(^2\) - AB \(^2\) = \(x^2\) - 36 -49
soit \(x^2\) -85 = – (BF \(^2\) + AB \(^2\))
Or, d’après l’égalité (4), on a BF \(^2\) + AB \(^2\) = 81 ;
on obtient ainsi : \(x^2\) - 85 =-81, soit \(x^2\) = 4, puis \(x\) = 2.
La corde de Biquette devrait donc mesurer moins de 2 mètres… pauvre Biquette !

Delphine Guillermard

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