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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 61

4 cercles dans un carré, le corrigé

Enoncé du problème n° 61

On construit dans un carré de côté 1, quatre cercles comme l’indique la figure ci-dessous.
Calculer les rayons de ces cercles.

Correction du problème n°61
On pose \(R\) et \(r\) les longueurs respectives des rayons des grands cercles et des petits cercles.
Donc \(r < R\).
Le carré a pour longueur de côté 1 (unité), donc sa diagonale \(CK = \sqrt{2}\) (longueur de la diagonale d’un carré).
Comme O est le milieu de [CK], alors \(OC =\dfrac{\sqrt 2}{2}\)
Les droites (CB) et (CD) sont tangentes au cercle de centre A,
donc \(\hat{ABC}= \hat{ADC} = 90\)°. De plus \(\hat{DCB} = 90 \)° Le quadrilatère ABCD a trois angles droits et deux côtés consécutifs égaux (\(DA = AB = R\)),
donc \(ABCD\) est un carré.
Donc \(AC = \sqrt{2}R \)(longueur de la diagonale d’un carré).
Or on a : $$\begin{array}{rl} OC=OA+AC & \iff R+R\sqrt 2 = \dfrac{\sqrt 2}{2} \\ & \iff R\left (1+\sqrt 2\right )= \dfrac{\sqrt 2}{2} \\ &\iff R= \dfrac{\dfrac{\sqrt 2}{2}}{1+\sqrt 2}\\ &\iff R= \dfrac{ \sqrt 2 }{2(1+\sqrt 2)}\\ &\iff R= \dfrac{ \sqrt 2(1-\sqrt 2) }{2(1+\sqrt 2)(1-\sqrt 2)}\\ &\iff R= \dfrac{ 2-\sqrt 2 }{2}\approx 0,29\\ \end{array}$$ Pour les mêmes raisons que le carré ABCD, EFGH est un carré. Donc \(EG= \sqrt 2 r \)
Le petit cercle et le grand cercle sont tangents, donc \(AE =R + r\).
OAE est un triangle rectangle en O, car (OA) et (OE) sont les diagonales du carré.
Donc d’après Pythagore :
\(AE ^2 = AO ^2 + OE ^2 \) soit \( (R+r)^2 = R^2+OE^2\)
Or on a: \(OG = OE + EG \) soit \((OG-EG)^2 = OE^2 \) soit : $$\begin{array}{rl} \left (\dfrac{\sqrt 2}{2} -\sqrt 2 r \right ) ^2 = (R+r)^2- R^2& \iff \frac{1}{2}-2\times \dfrac{\sqrt 2}{2} \times \sqrt 2 r +2 r^2= R^2-2rR+r^2 -R^2\\ &\iff \frac{1}{2}-2 r +2r^2= 2rR+r^2\\ &\iff \frac{1}{2}-2 r + r^2= r \left ( 2-\sqrt 2\right ) \\ &\iff r^2+r\left (-2-2+\sqrt 2\right )+ \frac{1}{2}= 0\\ &\iff r^2+r\left (-4+\sqrt 2\right )+ \frac{1}{2}= 0\\ \end{array}$$ On reconnaît ici une équation du second degré en \(r\)
\(\Delta= b^2-4ac=\left (-4+\sqrt 2\right )^2-4\times \frac{1}{2}= 16+2-8\sqrt 2 -2= 16-8\sqrt 2 \) $$\begin{array}{rlll} r_1&=\dfrac{-b-\sqrt {\Delta}}{2a} &r_2&= \dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}\\ & = \dfrac{4-\sqrt 2 -\sqrt{ 16-8\sqrt 2 }}{2}&& = \dfrac{4-\sqrt 2 +\sqrt{ 16-8\sqrt 2 }}{2}\\ &= \dfrac{4-\sqrt 2 -2\sqrt{ 4-2\sqrt 2 }}{2} &&= \dfrac{4-\sqrt 2 +2\sqrt{ 4-2\sqrt 2 }}{2} \\ &\approx 0,21&&\approx 2,37 \end{array}$$ Comme \(r< R\), on déduit \(r= 2 - \dfrac{\sqrt 2}{2}-\sqrt{ 4-2\sqrt 2 }\)

Luc Giraud

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