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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 64

Le dictionnaire, le corrigé

Enoncé du problème n° 64

Quel est le nombre de pages d’un dictionnaire dont la pagination a nécessité l’emploi de 3 897 caractères ?

Correction du problème n°64
Pour écrire les 9 premiers nombres ( de 1 à 9 ) , il faut 9 chiffres
pour écrire les 99 premiers nombres ( de 1 à 99), il faut 9 + 90 \(\times\)2 chiffres soit 189 chiffres
pour écrire les 999 premiers nombres , il faut 189 + 900 \(\times\)3 chiffres soit 2889 chiffres
pour écrire les 9999 premiers nombres , il faut 2889 + 9000\(\times\) 4 chiffres soit 38889 chiffres.
Le nombre de pages du dictionnaire est de 3 897, il est compris entre 2889 et 38889.
Soit \(x\) le nombre de pages au dessus de 2889. Pour numéroter ces \(x\) pages il a fallu 4 \(x\) chiffres, mais aussi 3897 – 2889 chiffres.
Ainsi 4 \(x\) = 3897 – 2889 ce qui donne \(x\)= 252.
Le dictionnaire a alors 999 +252 = 1251 pages.

Michel Simonet

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