Maths ...

Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 68

Amis ? le corrigé

Enoncé du problème n° 68

Dans une classe, il y a 22 élèves.
Parmi eux, se trouvent Youssef et Céline.
Parmi les 20 autres élèves, 13 sont amis avec Youssef, et 14 sont amis avec Céline.
Combien d’amis communs ont au minimum Youssef et Céline ?

Correction du problème n°68
Notons $n$ le nombre d’amis communs à Youssef et Céline.
Il y a donc $13-n$ élèves qui sont amis avec Youssef, mais pas avec Céline, et $14-n$ élèves qui sont amis avec Céline mais pas avec Youssef.
Lorsqu’on ajoute :
  • le nombre d’élèves amis avec Youssef seulement $13-n$
  • le nombre d’élèves amis avec Céline seulement $14-n$
  • le nombre d’élèves amis communs de Youssef et Céline $n$
on obtient au maximum 20 (n’oublions pas que des élèves de la classe pourraient n’être amis ni avec Youssef, ni avec Céline).
Ceci se traduit par : $$\begin{array}{rl} 13-n+14-n+n& \leqslant 20\\ 27-n& \leqslant 20\\ n& \geqslant 7\\ \end{array}$$ Youssef et Céline ont au minimum 7 amis communs.

Delphine Guillermard

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