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Problèmes de l'année 2018-2019

Problème n ° 69

Le lecteur étourdi, le corrigé

Enoncé du problème n° 69

Les pages d’un livre sont toutes numérotées.
J'ai additionné tous les numéros des pages mais étourdi je me suis trompé, j'ai compté une page deux fois et j'ai trouvé 2018.
Quelle page a été comptée deux fois et combien de pages possède le livre au total ?

Correction du problème n°69
Les pages d’un livre sont toutes numérotées.
J'ai additionné tous les numéros des pages mais étourdi je me suis trompé, j'ai compté une page deux fois et j'ai trouvé 2018.
Quelle page a été comptée deux fois et combien de pages possède le livre au total ?
Soit \(n\in\mathbb{N} \) le nombre total de pages du livre et \(k\in\mathbb{N} \) la page comptée deux fois.
On sait que \(1\leq k \leq n\) $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 +\ldots +(n-2)+(n-1)+ n+k= 2018$$ Rappel : somme des premiers entiers : $$1 + 2 + 3 +\ldots(n-2 )+(n-1)+ n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ On cherche donc \(k\) entier tel que $$\begin{array}{rl} 1+2+3+4+5+\ldots +(n-2)+(n-1)+ n+k= 2018&\iff \dfrac{n(n+1)}{2}+k=2018 \\ & \iff n(n+1)+2k=4036\\ &\iff n^2+n+2k-4036=0 \end{array}$$ On obtient un polynôme de degré 2 dont l’inconnue est un nombre entier naturel.
C’est une équation diophantienne. $$\Delta = 1-4\times 1\times(2k-4036) = 16145-8k$$ On cherche alors les valeurs de \(k\) qui font de \(16145 -8k\) un carré parfait.
Le script Python pour obtenir les solutions

# Lecteur etourdi	
from math import *
	 	L=[]
	 	for k in range(1,200):
	 	P=sqrt(16145-8*k)
	 	if sqrt(16145-8*k)==int(sqrt(16145-8*k)):
	 	L.append(k)
	 	print(L)
	 	
	 	def sol(k):
	 	return  -1/2+sqrt(16145-8*k)/2 
	 	Sol=[]
	 	for k in L:
	 	if k+sol(k)*(sol(k)+1)/2==2018:
	 	Sol.append(k)
	 	
	 	print(Sol) 
	 	
	 	for k in L:
	 	print(k+sol(k)*(sol(k)+1)/2)
Conclusion: parmi les trois candidats à être solutions : 2;65;127;188 seul 2 convient.
J'ai donc un livre de 63 pages et j'ai ajouté deux fois la page 2.

Luc Giraud

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