Problème n°5 : Aïe, les racines .... Le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 5

    Le but est de montrer que $A$ est un entier naturel : $$A=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-\sqrt{18}$$

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n° 5

    Le but est de montrer que $A$ est un entier naturel : $$A=\sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-\sqrt{18}$$
    De la bonne utilisation du produit remarquable : $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
    • On écrit tout d'abord : $$\begin{array}{|rl} 9+4\sqrt 2 &= 1+4\sqrt 2+8\\ &=1^2+2\times 1\times 2\sqrt 2+ \left( 2\sqrt 2\right) ^2\\ &=\left( 1+2\sqrt 2\right) ^2 \end{array} $$
    • Ainsi :$$\begin{array}{|llr} \sqrt { 9+4\sqrt 2} &=\sqrt{\left( 1+2\sqrt 2\right) ^2}&\\ &= 2\sqrt 2 +1 &\text { car } 1+2\sqrt 2 > 0\\ \end{array} $$
    • Alors $$\begin{array}{|llr} \sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}} &=\sqrt{2+1+2\sqrt 2}&\\ &= \sqrt{\sqrt 2 ^2 +2\times \sqrt 2\times 1 +1^2}&\\ &= \sqrt{\left( \sqrt 2 +1\right) ^2} &\\ &= \sqrt 2 +1 &\text { car } \sqrt 2 +1 > 0 \end{array} $$
    • Puis $$\begin{array}{|llr} A= \sqrt{13+30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}}-\sqrt{18} &= \sqrt{13+30 \left( \sqrt 2 +1 \right)} -\sqrt{18}&\\ &= \sqrt{13+30 \sqrt 2 +30} -\sqrt{9\times 2 }&\\ &=\sqrt{43 +30\sqrt 2}-3\sqrt 2 & &\\ & & \end{array} $$
    • On met alors $43 +30\sqrt 2$ sous la forme $\left( a+b\sqrt 2\right) ^2$
    • On a $$\left( a+b\sqrt 2\right) ^2=a^2+2ab\sqrt 2+2b^2$$ Ainsi en identifiant on écrit $$\left\lbrace \begin{array}{lll} a^2+2b^2&=&43~\\ ~2ab &=&30\\ \end{array} \right. $$
    • On obtient $a=5$ et $b=3$.
    • Enfin : $$\begin{array}{|llr} A= \sqrt{43+30\sqrt 2}-3\sqrt{2} &= \sqrt{ \left( 5+3\sqrt 2\right) ^2}-3\sqrt{2} &\\ &= 5+3\sqrt 2 -3\sqrt{ 2 }&\text{ car } 5+3 \sqrt 2 > 0\\ &=5& \end{array} $$

    Ainsi $A$ est un entier! $A=5$.

    Auteur : Luc GIRAUD