Problème n°3 : les 5 carrés ! Le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 3

    • Un père partage ses 5 terrains entre ses deux fils.
    • Les cinq champs représentés ont pour côté des entiers consécutifs.
    • Déterminer le côté de chacun de ces carrés sachant que le partage a été équitable.

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n° 3

    • Un père partage ses 5 terrains entre ses deux fils.
    • Les cinq champs représentés ont pour côté des entiers consécutifs.
    • Déterminer le côté de chacun de ces carrés sachant que le partage a été équitable.

    Auteur : Luc GIRAUD

    Notons $x$ le côté du troisième carré.
    Les carrés étant classés dans l'ordre croissat de mesure de longueur.
    Les mesures dess côtés sont donc : $$x-2;x-1;x;x+1;x+2$$ Ces nombres étant des longueurs sont positifs, donc $x\geqslant 2$.
    Le partage est équitable lorsque : $$\begin{array}{ rl} (x-2)^2+(x-1)^2+x^2=(x+1)^2(x+2)^2 &\iff x^2-4x+4+x^2-2x+1=x^2=x^2+2x+1+x^2+4x+4\\ &\iff x^2-12x =0\\ &\iff x(x-12)= 0\\ &\iff x=0 \text{ ou } x=12 \end{array} $$ Or $x\geqslant 2$; on ne retient donc que $x=12$.
    Le premier fils aura donc 3 champs carrés de côtés respectifs 10;11;12.
    Le deuxième fils aura 2 champs carrés de côtés 13 et 14.
    On peut vérifier que : $$10^2+11^2+12^2=13^2+14^2=365$$