Problème n°1 : Des petits carrés ... ! Le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 1

    Dans un carré de côté $c=2017$  les carrés de côté 1 sur les diagonales sont coloriés (la figure montre la situation avec $c=9$).

    Combien mesure la surface restée blanche ?

     

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n° 1

    Dans un carré de côté $c=2017$  les carrés de côté 1 sur les diagonales sont coloriés (la figure montre la situation avec $c=9$).

    Combien mesure la surface restée blanche ?

     

    Auteur : Luc GIRAUD

    • Dans un carré de côté $2017$, il y a $2017^2$ petits carrés de côté 1.
    • Il faut donc enlever les carrés oranges des deux diagonales. Il y en a : $2017+2016$.
    • Il y a donc : $2017^2-(2017+2016)$ petits carrés blancs.
      On peut alors remarquer que : $$\begin{array}{rl} 2017^2-(2017+2016)&= 2017^2-(2017+2017-1) \\ & =2017-2\times 2017+1\\ &=(2017-1)^2\\ &=2016^2 \end{array}$$ On a utilisé le produit remarquable : $$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$ Une autre piste ?
      Analysez la figure ci-dessous :

      Il y a donc $4 064 256$ petits carrés blancs dans un carré de côté 2017 !