Problème n°4 : les 3 frères ! Le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 4

    • 3 frères viennent de cueillir en commun 24 pommes.
    • Chacun ayant exactement le même nombre de pommes que l'age qu'ils avaient il y a 3 ans.
    • Le plus jeune proposa un échange: "Je garde la moitié de mes pommes et je partage le reste équitablement entre vous deux, mais le cadet puis l'ainé devront faire de même".
    • Il furent d'accord, et après l'échange eurent le même nombre de pommes chacun.
    • Quel age ont les 3 frères?

       

     

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n° 4

    • 3 frères viennent de cueillir en commun 24 pommes.
    • Chacun ayant exactement le même nombre de pommes que l'age qu'ils avaient il y a 3 ans.
    • Le plus jeune proposa un échange: "Je garde la moitié de mes pommes et je partage le reste équitablement entre vous deux, mais le cadet puis l'ainé devront faire de même".
    • Il furent d'accord, et après l'échange eurent le même nombre de pommes chacun.
    • Quel age ont les 3 frères?

       

    • Méthode 1 :
      Je pars de la fin, ils ont 8 pommes chacun, l'ainé double son nombre de pommes, il en a 16 et les autres en ont 4 et 4, puis le cadet double son nombre de pommes, il en a 8 et les autres en ont 14 et 2. Enfin le plus jeune double son nombre de pommes, il en a 4 et les autres en ont 13 et 7. Les frères ont 16, 10 et 7 ans.
    • Méthode 2 :
      le nombre de pommes de chaque frère $$x < y < z$$ on sait que l'age de chacun est différent des autres.
      $x$ : nombre de pommes pour le plus jeune
      $ y$ : nombre de pommes pour le cadet
      $z$ : nombre de pommes pour l'ainé $$x + y + z = 24$$ Le plus jeune "partage le reste équitablement " ceci signifie que le cadet et l'ainé vont recevoir la même chose $\dfrac{x}{4}$ donc $x$ a la forme $4k$ (multiple de 4).
      Les valeurs possibles de $x$ : 4,8,12,16,20,24.
      parce que $x$ est le plus jeune la seule valeur possible reste 4 (si c'est 8 les trois peuvent avoir l'age de 8 .... impossible)
      donc $x = 4$ ! et $4 < y < z$
      $y+ z = 20 $!
      le cadet et l'ainé vont recevoir 1 ( $\dfrac{x}{4}= \dfrac{4}{4}=1$ ce que fait 1)
      le cadet aussi doit partager équitablement $(y + 1)/4$ 1 c'est ce que il a reçu.
      les valeurs possibles pour $y + 1 $: 4,8,12,16,20,24
      $ y$ : 3,7,11,15,19,23
      mais : $y$ est le cadet $y > 4$ et $y+z = 20$ et $y < z$
      donc $y = 7$ et $z = 13$
      Les frères ont 16, 10 et 7 ans
    Les frères ont 16, 10 et 7 ans.

    Auteur : Luc GIRAUD