Problème n° 2 : Le canard et le chat ! Le corrigé

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  • Enoncé du problème n ° 2

    • Un petit canard se trouve au milieu d'un étang circulaire, au bord duquel se trouve un chat menaçant.
    • Le canard aimerait bien goûter à l'herbe se trouvant en bordure de l'étang, et le chat lui, aimerait bien goûter au canard.
    • Cela va sans dire, le chat ne sait pas nager et il lui est impossible de mettre une patte dans l'étang. Le canard a quant à lui les ailes trop courtes pour s'envoler.
    • Sachant que le chat court 4 fois plus vite que le canard ne nage, est-il possible pour ce dernier de parvenir à goûter cette herbe qui lui fait tant envie sans se faire attraper par le chat ?

    Auteur : Luc GIRAUD

  • Correction du problème n ° 2

    • Un petit canard se trouve au milieu d'un étang circulaire, au bord duquel se trouve un chat menaçant.
    • Le canard aimerait bien goûter à l'herbe se trouvant en bordure de l'étang, et le chat lui, aimerait bien goûter au canard.
    • Cela va sans dire, le chat ne sait pas nager et il lui est impossible de mettre une patte dans l'étang. Le canard a quant à lui les ailes trop courtes pour s'envoler.
    • Sachant que le chat court 4 fois plus vite que le canard ne nage, est-il possible pour ce dernier de parvenir à goûter cette herbe qui lui fait tant envie sans se faire attraper par le chat ?

     

    Auteur : Luc GIRAUD

      • Il faut remarquer que le canard peut nager et faire un tour complet à la vitesse du chat à condition de parcourir un cercle de diamètre 4 fois plus petit que l'étang.
        En se déplaçant sur un cercle très légèrement inférieur à ce petit cercle, le canard va pouvoir aller plus vite que le chat et donc finir par se trouver sur ce cercle "diamétralement" opposé au chat.
        Une fois en cette position, il restera au canard à faire une distance de 3/4 du rayon $R$ de l'étang pour atteindre le bord, alors que le chat devra faire un demi-tour d'étang, soit $\pi \times R$.
        Comme il va 4 fois plus vite que le canard, en supposant que le canard va à une vitesse $V$, il mettra un temps de $t_1=\dfrac{\pi\times R}{4V}$, alors que le canard atteindra le bord après $t_2=\dfrac{ \dfrac{3}{4}\times R}{ V}=\dfrac{ 3\times R}{4V}$. $$\begin{array}{rll} t_1> t_2&\iff \dfrac{\pi\times R}{4V} <\dfrac{ 3\times R}{4V} &\\ & \iff \pi\times R > 3\times R & \text{ en multipliant par } 4V> 0 \\ &\iff \pi > 3& \text{ en divisant par } R> 0 \end{array}$$
    Conclusion : Comme $ \pi> 3$, le canard parviendra à goûter l'herbe !

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