Problème n°18 : Les nombres jumeaux et le principe des tiroirs; le corrigé

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  • Enoncé du problème n° 18

    • Expérience :
    • Prendre au hasard 12 nombres entiers entre 1 et 99.
    • Vérifier que l’on peut trouver deux de ces nombres tels que leur différence (le plus grand diminué du plus petit) soit un nombre jumeau, c'est-à-dire un nombre à deux chiffres identiques (comme 11, 22, 33 etc.)
    • Explication :
    • En appliquant le principe des tiroirs (voir point info), montrer que parmi 12 nombres entiers naturels distincts, il en existe toujours deux qui ont le même reste dans la division par 11.
    • Que dire de leur différence ? Conclure.
    Indication :

    penser à définir ce qu’on apellera « les tiroirs » et ce que seront « les objets » à ranger dans les tiroirs.

    Point info :

    « Lorsqu’on range des objets dans des tiroirs et que l’on a plus d’objets que de tiroirs, alors il y a un tiroir qui contient au moins deux objets ».
    Cet énoncé (évident) porte le nom de « principe des tiroirs » ou « principe de Dirichlet », du nom du célèbre mathématicien allemand du XIXe siècle, Pierre Lejeune Dirichlet.
    D’apparence simpliste, cette proposition se révèle un outil puissant dans de nombreux domaines : arithmétique, dénombrement, vie sociale (tour de cartes)…

    Auteur : Lionel DARIE

  • Correction du problème n° 18

    • Expérience :
    • Prendre au hasard 12 nombres entiers entre 1 et 99.
    • Vérifier que l’on peut trouver deux de ces nombres tels que leur différence (le plus grand diminué du plus petit) soit un nombre jumeau, c'est-à-dire un nombre à deux chiffres identiques (comme 11, 22, 33 etc.)
    Explication :
    • En appliquant le principe des tiroirs (voir point info), montrer que parmi 12 nombres entiers naturels distincts, il en existe toujours deux qui ont le même reste dans la division par 11.
    • Que dire de leur différence ? Conclure.
    Indication :

    penser à définir ce qu’on apellera « les tiroirs » et ce que seront « les objets » à ranger dans les tiroirs.

    Point info :

    « Lorsqu’on range des objets dans des tiroirs et que l’on a plus d’objets que de tiroirs, alors il y a un tiroir qui contient au moins deux objets ».
    Cet énoncé (évident) porte le nom de « principe des tiroirs » ou « principe de Dirichlet », du nom du célèbre mathématicien allemand du XIXe siècle, Pierre Lejeune Dirichlet.
    D’apparence simpliste, cette proposition se révèle un outil puissant dans de nombreux domaines : arithmétique, dénombrement, vie sociale (tour de cartes)…

    • Lorsqu’on pose la division euclidienne d'un nombre entier naturel par 11, on ne peut obtenir que 11 restes possibles : $$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.$$ Ces 11 restes vont représenter ici « les tiroirs ».
      Considérons 12 nombres entiers naturels distincts (« les objets ») et rangeons-les dans les tiroirs correspondants à leur reste dans la division par 11.
      Par exemple, si on a choisi le nombre 43 : 43 ÷11=3 reste 10 (car $43 = 3 \times 11 + 10$)
      Le nombre 43 sera rangé dans le tiroir n°10.
      Avec le nombre 94 : 94÷11=8 reste 6 (car $94 = 8 \times 11 + 6$). Le nombre 94 sera rangé dans le tiroir n°6. etc.
    • Comme on a plus d’objects à ranger (les 12 nombres) que de tiroirs (les 11 restes), alors d’après le principe des tiroirs, un tiroir contient au moins deux objets.
      Autrement dit, deux nombres parmi les 12 ont le même reste dans la division par 11.
      Leur différence est donc divisible par 11.
    • En effet : appelons $n$ et $n’$ nos deux nombres ( $n > n’$ ),$ q$ et $q’$, leurs quotients respectifs dans la division par 11 ( $q > q’ $), et $r$ leur reste commun.
      Alors : $n = q\times 11 + r$ et $n’ = q’ \times 11 + r$
      donc $n – n’ = q\times 11 – q’\times 11 $( $r$ s’élimine)
      soit, en factorisant par 11 : $n – n’ = (q – q’) \times 11$. Ce qui montre que $n – n’$ est divisible par 11.
      Dans notre problème, $n$ et $n’$ (distincts) sont compris entre 1 et 99 donc $n – n’$ est compris entre 1 et 98. La différence $n – n’$ étant divisible par 11, elle peut être égale à 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77 et 88.
    • Conclusion : quels que soient 12 nombres entiers distincts compris entre 1 et 99, il existe toujours deux de ces nombres tels que leur différence soit un nombre jumeau.

      Auteur : Lionel DARIE

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