Problème n°33 : dans un trapèze ; le corrigé

  • Enoncé du problème n° 33

    • La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
    • Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?

    Auteur : Delphine GUILLERMARD

  • Correction du problème n° 33

    • La grande base d’un trapèze mesure 15 cm et le segment reliant les milieux de ses deux diagonales mesure 3 cm.
    • Quelle est la longueur de la petite base du trapèze ?

    Auteur : Delphine GUILLERMARD

    • Appelons le trapèze ABCD, avec (AB) // (CD), et nommons I et J les milieux respectifs des diagonales [AC] et [BD].
    • Dans le triangle ABC, appelons Δ la droite parallèle à (AB) passant par I. Comme (AB) et (CD) sont parallèles, Δ est également parallèle à (CD).
    • Δ coupe [BC] en son milieu K.
    • Dans le triangle BCD, Δ est parallèle à (CD) et coupe [BC] en son milieu, donc Δ coupe aussi [BD] en son milieu : Δ passe par J.
    • Nous obtenons aussi : JK = \(\frac{1}{2}\) CD
    D’après ce qui précède, J \(\in $ [IK] donc IK = IJ + JK.
    • I et K étant les milieux des côtés [AC] et [BC] du triangle ABC, on a IK = \(\frac{1}{2}\) AB donc IK = 7,5 cm ;
    • par hypothèse, IJ = 3 cm ;
    • on a vu dans le point précédent que JK = \(\frac{1}{2}\) CD ;
    • l’égalité IK = IJ + JK nous donne donc : 7,5 = 3 + \(\frac{1}{2}\) CD
Et nous obtenons en résolvant cette équation : CD = 9
Conclusion : La longueur de la petite base est 9 cm.