• Ecrire un nombre de 3 chiffres, lui coller le même nombre (par ex. 257 donne 257257) ;
• Le diviser par 7 puis par 11 puis par 13.
• Quelle conjecture peut être émise ?
• Que se passe-t-il ?

 

Auteur : Luc GIRAUD

Tout d'abord $257\;257=7\times 11\times 13\times 257$, ce qui prouve que ce nombre est divisible par 7, 11 et 13 !
D'une façon génénérale,soit $a,b,c$ trois chifres quelconques pris dans $\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$.On considère le nombre $abc$ , on lui colle $abc$, on a donc le nombre $N=abc\;abc$.
$$\begin{array}{rl} N &= abc\;abc \\ &= c+10b+100a+1000c+10000b+100000a \\ &= (c+10b+100a)\times 1 +(c+10b+100a)\times 1000\\ &= (c+10b+100a)\times (1+1000)\\ &=(c+10b+100a)\times 1001 \end{array}$$ Or $1001=7\times 11\times 13$ , $N=abc\;abc=(c+10b+100a)\times 7\times 11\times 13$