Déterminer la longueur du rectangle, lorsque les 3 cercles ont pour rayons respectifs 1, 4, 2.
On trace la parallèle à la longueur du rectangle, passant par A , puis celle passant par C, puis la perpendiculaire à ces deux droites passant par B. Enfin on trace les segments [AB] et [BC] qui passent par les points ou sont tangents les cercles.
On obtient alors deux triangles rectangles AKB et BHC dont les hypothénuses [AB] et [BC] mesurent 1+4=5 et 4+2=6.
D’autre part la longueur BK est égale à la différence des rayons des cercles de centres respectifs B et A. Donc BK= 4-1=3
La longueur BH est égale à la différence des rayons des cercles de centres respectifs B et C. Donc BH=4-2=2
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABK :
AK2+BK2=AB2 donc AK2=AB2−BK2=52−32=16. Donc AK=4
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle BHC :
BH2+HC2=BC2 donc HC2=BC2−BH2=62−22=32 donc
HC=√32=4√2
Si on désigne par R1 et R3 les rayons des cercles de centres A et C, par L la longueur du rectangle, on a alors :
L=R1+AK+HC+R3=1+4+4√2+2=7+4√2
