On pose R et r les longueurs respectives des rayons des grands cercles et des petits cercles. Donc r<R.
Le carré a pour longueur de côté 1 (unité), donc sa diagonale CK=√2 (longueur de la diagonale d’un carré).
Comme O est le milieu de [CK], alors OC=√22
Les droites (CB) et (CD) sont tangentes au cercle de centre A, donc ^ABC=^ADC=90°. De plus ^DCB=90° Le quadrilatère ABCD a trois angles droits et deux côtés consécutifs égaux (DA=AB=R),
donc ABCD est un carré.
Donc AC=√2R(longueur de la diagonale d’un carré).
Or on a :
OC=OA+AC⟺R+R√2=√22⟺R(1+√2)=√22⟺R=√221+√2⟺R=√22(1+√2)⟺R=√2(1−√2)2(1+√2)(1−√2)⟺R=2−√22≈0,29
Pour les mêmes raisons que le carré ABCD, EFGH est un carré. Donc EG=√2r
Le petit cercle et le grand cercle sont tangents, donc AE=R+r.
OAE est un triangle rectangle en O, car (OA) et (OE) sont les diagonales du carré.
Donc d’après Pythagore : AE2=AO2+OE2 soit (R+r)2=R2+OE2
Or on a: OG=OE+EG soit (OG−EG)2=OE2 soit :
(√22−√2r)2=(R+r)2−R2⟺12−2×√22×√2r+2r2=R2−2rR+r2−R2⟺12−2r+2r2=2rR+r2⟺12−2r+r2=r(2−√2)⟺r2+r(−2−2+√2)+12=0⟺r2+r(−4+√2)+12=0
On reconnaît ici une équation du second degré en r Δ=b2−4ac=(−4+√2)2−4×12=16+2−8√2−2=16−8√2r1=−b−√Δ2ar2=−b+√Δ2a=4−√2−√16−8√22=4−√2+√16−8√22=4−√2−2√4−2√22=4−√2+2√4−2√22≈0,21≈2,37
Comme r<R, on déduit r=2−√22−√4−2√2
