Les entiers 22 et 123 font partie des entiers ayant la particularité suivante: dans leur écriture dans le système
décimal, la somme des chiffres est égale au produit des chiffres.
Pouvez-vous trouver le nombre d'entiers s'écrivant avec 5 chiffres (dans le système décimal) qui possèdent
aussi cette propriété ?
On peut remarquer que le chiffre 0 ne doit pas figurer dans l'écriture et que l'on peut limiter la recherche aux entiers s'écrivant a104+b103+c102+10d+e tels que les chiffres a,b,c,d et e vérifient
a≤b≤c≤d≤e (il suffira alors de permuter).
Dans ce cas on a : a+b+c+d+e≤5e et donc abcde≤5e d'où (puisque 0 ne figure pas) abcd≤5 En construisant un arbre on s'aperçoit alors que (a,b,c,d) ne peut prendre que les valeurs : (1,1,1,1),(1,1,1,2),(1,1,1,3),(1,1,1,4),(1,1,1,5),(1,1,2,2)
Reste à déterminer e dans chacun des cas en éliminant le cas (1,1,1,1) puisque dans ce cas le produit vaut e et la somme est strictement supérieure à e .
Par exemple dans le cas (1, 1, 1, 2) il n'y a que la possibilité e=5.
Au final les entiers cherchés s'obtiennent en permutant les chiffres de 11125, 11133 et 11222.
Il y a 20 entiers correspondant à 11125, et 10 dans chacun des deux autres cas. Soit donc au total 40 entiers.
