Une entreprise a lancé un appel à projet pour la création de son logo : une flèche grise sur un support carré de côté 5cm. On a représenté ci-dessus deux figures possibles.
L’entreprise veut que l’aire de la flèche grise représente au moins un cinquième de l’aire du support carré.
Quelles solutions peut-on proposer à l’entreprise ?
Soit x la longueur du côté du carré EFGC. x∈]0;5[ .
L’aire du carré EFGCest x2 cm2.
L’aire du carré ABCD est 25 cm2.
L’aire du triangle rectangle ABE est égale à celle du triangle ADG soit 5×(5−x)2 cm2.
L’aire du logo est donc :
A=25−x2−2×5×(5−x)2=25−x2−5(5−x)=25−x2−25+5x=−x2+5x
Il s’agit donc de résoudre l’inéquation : −x2+5x≥15×25
Soit −x2+5x−5≥0.
Etudions le signe du polynôme du second degré P défini sur ]0;5[ par P(x)=−x2+5x−5. Δ=52−4×(−1)×(−5)=5>0. P admet donc deux racines réelles :
x1=−5+√5−2 et x2=−5−√5−2
soit x1=5−√52≈1,38 et x2=5+√52≈3,62P est donc positif sur l’intervalle ]5−√52;5+√52[ (signe contraire de a=−1 entre les racines).
On peut donc proposer à l’entreprise un nombre appartenant à l’intervalle]5−√52;5+√52[ comme longueur pour le
carré EFGC.
