Enoncé du problème n° 118
Un éleveur de Math-City conduit des vaches le long du fleuve.
Chaque vache lui coûte 15 € de nourriture par jour, et lui-même a des dépenses personnelles quotidiennes de 30 €.
Chaque soir, il dépose une vache dans la localité où il passe ; son troupeau diminue donc d’une unité.
Après avoir déposé sa dernière vache, il fait son bilan et se dit : « Tiens, le nombre d’euros que j’ai dépensés est le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10. »
Combien le troupeau comportait-il de vaches au départ ?
Correction du problème n° 118
Le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10 est :
$$2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 7 \times 3 = 2 520 $$
C’est donc la somme dépensée par l’éleveur.
Le dernier jour, il a dépensé 15 € pour sa vache et 30 € pour lui, soit au total $15 + 30$.
L’avant-dernier jour, il avait encore deux vaches.
Sa dépense était égale à $2 \times 15 + 30$.
Et le jour précédent,$ 3 \times 15 + 30$. Et ainsi de suite.
Si $n$ désigne le nombre de vaches au départ, et donc le nombre de jours qu’a duré le voyage, la dépense totale (2 520€) est : $$(1 + 2 + 3 + \cdots+ n)\times 15 + 30 n $$ On a donc : $$\dfrac{n(n + 1)}{2}\times 15 + 30 n = 2 520$$ Ce qui se simplifie en : $$n^2 + 5 n - 336 = 0 $$ D’où $n = 16$. Le troupeau comprenait 16 vaches au départ.
Le dernier jour, il a dépensé 15 € pour sa vache et 30 € pour lui, soit au total $15 + 30$.
L’avant-dernier jour, il avait encore deux vaches.
Sa dépense était égale à $2 \times 15 + 30$.
Et le jour précédent,$ 3 \times 15 + 30$. Et ainsi de suite.
Si $n$ désigne le nombre de vaches au départ, et donc le nombre de jours qu’a duré le voyage, la dépense totale (2 520€) est : $$(1 + 2 + 3 + \cdots+ n)\times 15 + 30 n $$ On a donc : $$\dfrac{n(n + 1)}{2}\times 15 + 30 n = 2 520$$ Ce qui se simplifie en : $$n^2 + 5 n - 336 = 0 $$ D’où $n = 16$. Le troupeau comprenait 16 vaches au départ.
D'autres problèmes ?
-
Problème n° 119
-
Problème n° 118
-
Problème n° 117
-
Problème n° 116
-
Problème n° 115
-
Problème n° 114
-
Problème n° 113
-
Problème n° 112
-
Problème n° 111
-
Problème n° 110
-
Problème n° 109
-
Problème n° 108
-
Problème n° 107
-
Problème n° 106
-
Problème n° 105
-
Problème n° 104
-
Problème n° 103
-
Problème n° 102
-
Problème n° 101
-
Problème n° 100
-
Problème n° 99
-
Problème n°98
-
Problème n° 97
-
Problème n° 96
-
Problème n° 95
-
Problème n° 94
-
Problème n° 93
-
Problème n° 92
-
Problème n° 91
-
Problème n° 90
-
Problème n° 89
-
Problème n° 88
-
Problème n°87
-
Problème n° 86
-
Problème n° 85
-
Problème n° 84
-
Problème n°83
-
Problème n° 82
-
Problème n° 81
-
Problème n° 80
-
Problème n° 79
-
Problème n° 78
-
Problème n° 77
-
Problème n° 76
-
Problème n° 75
-
Problème n° 74
-
Problème n° 73
-
Problème n° 72
-
Problème n°71
-
Problème n° 70
-
Problème n° 69
-
Problème n° 68
-
Problème n° 67
-
Problème n°66
-
Problème n° 65
-
Problème n° 64
-
Problème n°63
-
Problème n° 62
-
Problème n° 61
-
Problème n° 60
-
Problème n° 59
-
Problème n° 58
-
Problème n° 57
-
Problème n°56
-
Problème n° 55
-
Problème n° 54
-
Problème n° 53
-
Problème n° 52
-
Problème n° 51
-
Problème n° 50
-
Problème n° 49
-
Problème n° 48
-
Problème n° 47
-
Problème n° 46
-
Problème n° 45
-
Problème n° 44
-
Problème n° 43
-
Problème n° 42
-
Problème n° 41
-
Problème n° 40
-
Problème n° 39
-
Problème n° 38
-
Problème n° 37
-
Problème n° 36
-
Problème n° 35
-
Problème n°34
-
Problème n° 33
-
Problème n°32
-
Problème n°31
-
Problème n°30
-
Problème n°29
-
Problème n°28
-
Problème n°27
-
Problème n°26
-
Problème n°25
-
Problème n°24
-
Problème n°23
-
Problème n°22
-
Problème n°21
-
Problème n°20
-
Problème n°19
-
Problème n°18
-
Problème n°17
-
Problème n°16
-
Problème n°15
-
Problème n°14
-
Problème n°13
-
Problème n°12
-
Problème n°11
-
Problème n°10
-
Problème n°9
-
Problème n°8
-
Problème n°7
-
Problème n°6
-
Problème n°5
-
Problème n°4
-
Problème n°3
-
Problème n°2
-
Problème n°1