Enoncé du problème n° 23
- Vous aimez les équations, vous adorez la trigonométrie, en particulier les sinus et les cosinus! cette énigme est pour vous!
- Résoudre dans R : √cos(x)+√sin(x)=1
Auteur : Luc GIRAUD
Correction du problème n° 23
- Méthode 1: On étudie f:x↦√cos(x)+√sin(x)
- Il est clair que f est périodique de période 2π car les fonctions sin et cos le sont.
Par ailleurs sur [0;2π]; f(x) existe ssi {cosx⩾ soit x\in \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right].
f est dérivable partout où les fonctions \cos et \sin sont dérivables et strictement positives , donc sur [0;2\pi], f est dérivable sur \left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[ .
Comme \left( \sqrt u\right) '= \dfrac{u'}{2\sqrt u}; on trouve : f'(x)= -\dfrac{\sin x}{2\sqrt {\cos x}}+\dfrac{\cos x }{2\sqrt {\sin x}}= \dfrac{\sqrt{\cos x }^3-\sqrt{\sin x }^3}{2\sqrt {\sin x\cos x}} A partir du cerlce trigonométrique, on lit facilement sur \left]0; \dfrac{\pi}{4}\right[ . : \begin{array}{cl} \cos x >\sin x & \\ \sqrt{\cos x } > \sqrt{\sin x } & \text{ car la fonction } x\mapsto \sqrt x \text{ est strictement croissante sur } \mathbb R ^+ \\ \sqrt{\cos x }^3> \sqrt{\sin x }^3 & \text{ car la fonction } x\mapsto x^3 \text{est strictement croissante sur } \mathbb R\\ \sqrt{\cos x }^3 - \sqrt{\sin x }^3 > 0&\\ \dfrac{\sqrt{\cos x }^3-\sqrt{\sin x }^3}{2\sqrt {\sin x\cos x}}> 0 &\text{ car } 2\sqrt {\sin x\cos x}> 0 \text{ sur } \left]0; \dfrac{\pi}{4}\right[\\ f'(x)> 0& \end{array} On prouve de même f'(x)< 0 sur \left] \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}\right[ . On déduit le tableau de variations de f sur \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]:Il apparaît alors clairement : \mathcal{S}_{\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]}=\{0; \dfrac{\pi}{2} \} Puis \mathcal{S}=\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; k2\pi /k\in \mathbb Z\} - Méthode 2: On sait que si a\in]0;1[ alors a^2 < a < \sqrt{a}
On déduit donc : \sqrt{\cos(x)} + \sqrt{\sin(x)} > \cos(x)^2+\sin(x)^2 Mais on sait que pour tout réel x, on a : \cos(x)^2+\sin(x)^2= 1 - On déduit donc si \cos x \in ]0;1[ et si \sin x \in ]0;1[ alors f(x)> 1
Ce qui prouve que si f(x)=1, alors nécessairement \cos x =0 ou \cos x =1 ... -
Conclusion: \mathcal{S}=\{\dfrac{\pi}{2}+k2\pi; k2\pi /k\in \mathbb Z\}