• Ces cinq cercles délimitent 9 zones dans lesquelles on inscrit les chiffres de 1 à 9, de telle sorte que la somme des chiffres de chaque disque soit égale à 11.
• Quelle est la valeur de $x$ ?

Auteur : Delphine GUILLERMARD

• Ces cinq cercles délimitent 9 zones dans lesquelles on inscrit les chiffres de 1 à 9, de telle sorte que la somme des chiffres de chaque disque soit égale à 11.
• Quelle est la valeur de $x$ ?

 

Auteur : Delphine GUILLERMARD

Pour plus de commodité, donnons un nom aux chiffres cherchés :
Voici les différentes possibilités pour écrire 11 comme la somme de deux chiffres distincts, ou bien de trois chiffres distincts : $$\begin{array}{rl} 11 &= 9 + 2 \\ 11 &= 8 + 3 \\ 11 &= 7 + 4 \\ 11 &= 6 + 5 \\ 11 &= 1 + 2 + 8 \\ 11 &= 1 + 3 + 7 \\ 11 &= 1 + 4 + 6 \\ 11 &= 2 + 3 + 6 \\ 11 &= 2 + 4 + 5 \\ \end{array}$$ Les sommes de deux termes donnent les différentes possibilités pour les nombres a et b d’une part, et g et h d’autre part.
On remarque que le chiffre 9 n’apparaît pas dans les sommes de trois chiffres, donc a ou h est forcément 9.
La figure étant symétrique, choisissons $a = 9$. Ce qui donne immédiatement $b = 2$.
On remarque maintenant que les chiffres 5 et 7 apparaissent dans une seule des sommes de trois chiffres, donc ce sont les nombres $c$ et $f$.
Si $c = 7$, alors, comme $b + c + d = 11$, avec $b = 2$, on aurait $d = 2$, ce qui n’est pas possible car le chiffre 2 est déjà inscrit. On en déduit que $f = 7$ et $c = 5$.
Revenons aux écritures de 11 comme somme de deux chiffres : les chiffres 9, 2, 5 et 7 étant déjà inscrits sur la figure, il en résulte que $g + h = 3 + 8$. Comme $f = 7$, on ne peut pas avoir $g = 8$ (car la somme des chiffres du disque en bas à droite dépasserait 11), donc $g = 3$ et $h = 8$.