Un bateau-mouche fait tous les jours le même parcours : il descend une partie de la Seine, fait demi-tour, et remonte à contre-courant jusqu’à son point de départ. Un jour, la vitesse du courant est plus élevée que d’habitude. Le bateau va-t-il mettre moins, autant ou plus de temps que d’habitude pour faire l’aller-retour ? Le bateau va mettre moins de temps à l’aller mais plus de temps au retour.
v0 la vitesse du courant, avec bien sûr la condition v>v0.
T1 le temps mis pour faire le trajet avec le courant favorable T1=dv+v0
T2 le temps mis pour faire le trajet avec le courant défavorable T2=dv−v0
TTotal=T1+T2=dv+v0+dv−v0
On pose v0=x.
On étudie alors les variations de la fonction ϕ:x↦dv+x+dv−x sur l'intervalle [0;v[.
Calculons sa dérivée :
ϕ′(x)=−d(v+x)2−d×(−1)(v−x)2=−d(v+x)2+d(v−x)2=d((v+x)2−(v−x)2)(v−x)2(v+x)2=d(v2+x2+2vx−(v2+x2−2vx))(v−x)2(v+x)2=d(4vx)(v−x)2(v+x)2
La dérivée est clairement positive sur [0;v[.
Ainsi ϕ est strictement croissante sur [0;v[.
Ce qui signifie que plus la vitesse du courant est importante, plus le temps mis pour faire l'aller-retour est important.
