Un drapeau a la forme d’un triangle équilatéral.
Il est suspendu par deux de ses sommets en haut de mâts verticaux de 3 et 4 mètres.
Le 3ème sommet affleure exactement le sol.
Quelle est la longueur du côté de ce drapeau ?
L’observation de la figure doit vous faire penser aux triangles rectangles et aux formules de trigonométrie.
On pose AB=BC=CA=x,DC=y et CE=z
Les triangles ADC,BCE, et AFE sont rectangles respectivement en D,E et F, donc d'après la propriété de Pythagore, on a : AC2=AD2+DC2 soit x2=9+y2 soit y2=x2−9 ( 1) BC2=BE2+EC2 soit x2=16+z2 soit z2=x2−16.(2) AB2=AF2+FB2 soit x2=1+(y+z)2 soit x2−1+y2+z2+2yz(3)
L’addition de (1) et (2) nous donne : y2+z2=2x2−25
On remplace dans (3) : x2=1+(2x2−25)+2yz donc 2yz=x2−1−2x2+25 soit 2yz=24−x2
soit 4y2z2=(24−x2)2
On remplace y2 et z2 par leur valeur donnée en (1) et (2) :
4(x2−9)(x2−16)=(24−x2)2
On obtient donc :
4(x4−16x2−9x2+144)=576−48x2+x44x4−100x2+576=576−48x2+x43x4−52x2=0x2(3x2−52)=0x2=0 ou 3x2−52=0x=0 ou x=√523 ou x=−√523
Or x est une longueur non nulle, donc le côté du drapeau mesure √523 mètres, soit environ 4.16 mètres.
