Ci dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple (x,y) de coordonnées vérifie la relation x2—2y2=1. On s’intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est (1 , 0).
Donner quatre autres couples d’entiers (x,y) tels que x2—2y2=1.
Soit a et b des entiers naturels. On pose A=a+2b et B=a+b. Exprimer A2—2B2 en fonction de a2—2b2. Donner un nouveau couple d’entiers (x,y) solution de l’équation x2−2y2=1 tel que x>10.
Rédiger un algorithme affichant le premier couple d’entiers (x,y) solution de l’équation x2—2y2=1 et tel que x>2018. Quel est le couple obtenu?
Ci dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple (x,y) de coordonnées vérifie la relation x2—2y2=1. On s’intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est (1 , 0).
Donner quatre autres couples d’entiers (x,y) tels que x2—2y2=1.
On obtient les couples (3,2);(−3,2);(−3,−2);(3,−2).
Soit a et b des entiers naturels. On pose A=a+2b et B=a+b. Exprimer A2—2B2 en fonction de a2—2b2. Donner un nouveau couple d’entiers (x,y) solution de l’équation x2−2y2=1 tel que x>10.
A2—2B2=(a+2b)2−2(a+b)2=a2+4ab+4b2−2(a2+2ab+b2)=a2+4ab+4b2−2a2−4ab−2b2=2b2−a2=−(a2−2b2)=−1
On fait agir deux fois la transformation , en posant C=A+2B et D=A+B.
C2—2D2=−(A2−2B2)=−(−1)=1
Ainsi le couple obtenu en faisant agir deux fois de suite la transformation est solution de l’équation x2—2y2=1.
Ici si on part de (a,b)=(3,2)
On obtient (A,B)=(a+2b,a+b)=(7,5)
puis (C,D)=(A+2B,A+B)=(7+2∗5,7+5)=(17,12).
On peut vérifier que 172−2×122=289−2×144=1.
Le couple (17,12) est solution de l’équation x2—2y2=1.
Rédiger un algorithme affichant le premier couple d’entiers (x,y) solution de l’équation x2—2y2=1 et tel que x>2018. Quel est le couple obtenu?
# Points a coordonnees entieres
a=1
b=0
C,D=a,b
while C < 2018:
A,B=a+2*b,a+b
C,D=A+2*B,A+B
a,b=C,D
print([C,D])
print([C,D])
