Notons
a,b,c et
d les chiffres qui composent
n, tels que :
n=1000a+100b+10c+d.
On cherche donc à déterminer tous les quadruplets de chiffres
(a;b;c;d) vérifiant :
1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=2019
qui équivaut à :
1001a+101b+11c+2d=2019
Comme
n est un nombre à quatre chiffres,
a≠0 ; par ailleurs, l’égalité ci-dessus impose
a=1 ou
a=2(pour
a≥3,1001a+101b+11c+2d≥3003
donc l’égalité ne saurait être vérifiée).
-
- Si a=1 :
L’égalité 1001a+101b+11c+2d=2019 devient 101b+11c+2d=1018
Commec≤9 et d≤9 on a 1c+2d≤99+18 donc 11c+2d≤117 puis 101b+11c+2d≤101b+1171018≤101b+117101b≥901
b étant un chiffre, pour satisfaire cette inégalité, il faut et il suffit que b=9
Il vient ensuite : 909+11c+2d=1018 qui donne : 11c+2d=109
- Comme d≤9, on a 2d≤18 donc 11c+2d≤11c+18
puis 109≤11c+18
11c≥91
c étant un chiffre, pour satisfaire cette inégalité, il faut et il suffit que c=9
- On obtient enfin : 99+2d=109 qui donne d=5.
- On peut vérifier : le nombre 1995 convient.
-
Si a=2:
L’égalité 1001a+101b+11c+2d=2019 devient 101b+11c+2d=17
qui impose b=0 . On cherche alors les chiffres c et d tels que 11c+2d=17.
La seule possibilité est c=1 et d=3.
On peut vérifier : le nombre 2013 convient.
Conclusion : Les seuls nombres solutions sont 1995 et 2013.
