Aux quatre coins d’un jardinet rectangulaire, se trouvent un cerisier, un pommier, un pêcher et un noyer.
Biquette est attachée à un piquet, situé à 7 mètres du cerisier, à 9 mètres du noyer, et à 6 mètres du pêcher.
Chacun des arbres est assimilé à un point ; Biquette aussi est assimilée à un point.
Quelle doit être la longueur de la corde de Biquette pour qu’elle ne puisse pas grignoter l’écorce de ces arbres ?
On construit les rectangles ABDC, BDPE, BEP’F et BFNA comme indiqué ci-dessous :
La corde de Biquette doit mesurer moins de 6 mètres pour qu’elle ne grignote ni le cerisier, ni le noyer, ni le pêcher ; mais pour qu’elle ne grignote pas non plus le pommier ?
Il s’agit donc de déterminer BP. Notons x cette distance.
On utilise le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABC, BPE, BEP’ et BFN. On obtient :
AB 2 + AC 2= 49 , soit AB 2+ BD 2 = 49 (1)
BE 2 + EP 2 = x2 , soit BE 2+ BD 2 = x2 (2)
BE 2 + EP’ 2= 36 , soit BE 2 + BF 2 = 36 (3)
BF 2+ FN 2= 81 , soit BF 2+ AB 2 = 81 (4)
En soustrayant membre à membre les égalités (2) et (3) on obtient : BD 2– BF 2= x2 -36
En soustrayant membre à membre cette nouvelle égalité et l’égalité (1) on obtient :
- BF 2 - AB 2 = x2 - 36 -49
soit x2 -85 = – (BF 2 + AB 2)
Or, d’après l’égalité (4), on a BF 2 + AB 2 = 81 ;
on obtient ainsi : x2 - 85 =-81, soit x2 = 4, puis x = 2.
La corde de Biquette devrait donc mesurer moins de 2 mètres… pauvre Biquette !
La corde de Biquette doit mesurer moins de 6 mètres pour qu’elle ne grignote ni le cerisier, ni le noyer, ni le pêcher ; mais pour qu’elle ne grignote pas non plus le pommier ?
