On pose \(R\) et \(r\) les longueurs respectives des rayons des grands cercles et des petits cercles. Donc \(r < R\).
Le carré a pour longueur de côté 1 (unité), donc sa diagonale \(CK = \sqrt{2}\) (longueur de la diagonale d’un carré).
Comme O est le milieu de [CK], alors \(OC =\dfrac{\sqrt 2}{2}\)
Les droites (CB) et (CD) sont tangentes au cercle de centre A, donc \(\hat{ABC}= \hat{ADC} = 90\)°. De plus \(\hat{DCB} = 90 \)° Le quadrilatère ABCD a trois angles droits et deux côtés consécutifs égaux (\(DA = AB = R\)),
donc \(ABCD\) est un carré.
Donc \(AC = \sqrt{2}R \)(longueur de la diagonale d’un carré).
Or on a :
$$\begin{array}{rl}
OC=OA+AC & \iff R+R\sqrt 2 = \dfrac{\sqrt 2}{2} \\
& \iff R\left (1+\sqrt 2\right )= \dfrac{\sqrt 2}{2} \\
&\iff R= \dfrac{\dfrac{\sqrt 2}{2}}{1+\sqrt 2}\\
&\iff R= \dfrac{ \sqrt 2 }{2(1+\sqrt 2)}\\
&\iff R= \dfrac{ \sqrt 2(1-\sqrt 2) }{2(1+\sqrt 2)(1-\sqrt 2)}\\
&\iff R= \dfrac{ 2-\sqrt 2 }{2}\approx 0,29\\
\end{array}$$
Pour les mêmes raisons que le carré ABCD, EFGH est un carré. Donc \(EG= \sqrt 2 r \)
Le petit cercle et le grand cercle sont tangents, donc \(AE =R + r\).
OAE est un triangle rectangle en O, car (OA) et (OE) sont les diagonales du carré.
Donc d’après Pythagore :
\(AE ^2 = AO ^2 + OE ^2 \) soit \( (R+r)^2 = R^2+OE^2\)
Or on a: \(OG = OE + EG \) soit \((OG-EG)^2 = OE^2 \) soit :
$$\begin{array}{rl}
\left (\dfrac{\sqrt 2}{2} -\sqrt 2 r \right ) ^2 = (R+r)^2- R^2& \iff \frac{1}{2}-2\times \dfrac{\sqrt 2}{2} \times \sqrt 2 r +2 r^2= R^2-2rR+r^2 -R^2\\
&\iff \frac{1}{2}-2 r +2r^2= 2rR+r^2\\
&\iff \frac{1}{2}-2 r + r^2= r \left ( 2-\sqrt 2\right ) \\
&\iff r^2+r\left (-2-2+\sqrt 2\right )+ \frac{1}{2}= 0\\
&\iff r^2+r\left (-4+\sqrt 2\right )+ \frac{1}{2}= 0\\
\end{array}$$
On reconnaît ici une équation du second degré en \(r\)
\(\Delta= b^2-4ac=\left (-4+\sqrt 2\right )^2-4\times \frac{1}{2}= 16+2-8\sqrt 2 -2= 16-8\sqrt 2 \)
$$\begin{array}{rlll}
r_1&=\dfrac{-b-\sqrt {\Delta}}{2a} &r_2&= \dfrac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}\\
& = \dfrac{4-\sqrt 2 -\sqrt{ 16-8\sqrt 2 }}{2}&& = \dfrac{4-\sqrt 2 +\sqrt{ 16-8\sqrt 2 }}{2}\\
&= \dfrac{4-\sqrt 2 -2\sqrt{ 4-2\sqrt 2 }}{2} &&= \dfrac{4-\sqrt 2 +2\sqrt{ 4-2\sqrt 2 }}{2} \\
&\approx 0,21&&\approx 2,37
\end{array}$$
Comme \(r< R\), on déduit \(r= 2 - \dfrac{\sqrt 2}{2}-\sqrt{ 4-2\sqrt 2 }\)
