Dix personnes sont assises autour d’une table. Chacune pense à un nombre et le dit à ses deux voisins. Puis chaque personne dit à voix haute la moyenne des nombres de ses deux voisins.
Si les nombres de 1 à 10, dans cet ordre, ont été annoncés, à quel nombre la personne qui a dit 6 a-t-elle pensé ?
Notons n1,n2,⋯,n9 et n10 les nombres auxquels ont pensé les personnes qui ont respectivement annoncé 1,2,⋯,9 et 10. Il s’agit donc de déterminer n6.
On a :
{n10+n22=1n1+n32=2n2+n42=3n3+n52=4n4+n62=5n5+n72=6n6+n82=7n7+n92=8n8+n102=9n9+n12=10 soit {n10+n2=2n1+n3=4n2+n4=6n3+n5=8n4+n6=10n5+n7=12n6+n8=14n7+n9=16n8+n10=18n9+n1=20 L’égalité n4+n6=10 donne n6=10−n4;
puis, comme n2+n4=6,n6=10−(6−n2) , soit n6=4+n2 ;
ensuite, comme n10+n2=2,n6=4+(2−n10), soit n6=6−n10 ;
on continue de la même façon :
comme n8+n10=18,n6=6−(18−n8) , soit n6=−12+n8 ;
et enfin, comme n6+n8=14,n6=−12+(14−n6) , soit 2n6=2 , puis n6=1.
La personne qui a dit 6 avait pensé au nombre 1.
