Enoncé du problème n° 84
Dans un QCM de 20 questions, si l'on répond correctement, on marque 7 points, si l'on ne répond pas, on ne marque ni ne perd aucun point, si l'on répond de manière erronnée, on perd 2 points.
Clément a obtenu la note de 87/140.
A combien de questions a-t-il répondu ?
Correction du problème n° 84
Posons x le nombre de bonnes réponses de Clément et y le nombre de ses mauvaises réponses.
On a alors : 0≤x≤20et0≤y≤20.
87=x×7−y×2 et x+y≤20
87=12×7+3 donc x≥13 Si x=13 alors 87=13×7−2×2 ce qui donnerait x=13 et y=2 ce qui conviendrait.
Si x=14 alors 87=14×7−11 ce qui ne convient pas car 11 n'est pas un nombre pair.
Si x=15 alors 87=15×7−9×2 ce qui donnerait x=15 et y=9 ce qui neconvient pas car x+y=24 ce qui dépasse le nombre de questions posées.
Il est inutile de continuer à essayer des valeurs supérieures pour x car y serait encore plus grand.
Conclusion:Clément a eu 13 bonnes réponses et 2 erreurs. Il a donc répondu à 15 questions sur les 20 proposées.
On a alors : 0≤x≤20et0≤y≤20.
87=x×7−y×2 et x+y≤20
87=12×7+3 donc x≥13 Si x=13 alors 87=13×7−2×2 ce qui donnerait x=13 et y=2 ce qui conviendrait.
Si x=14 alors 87=14×7−11 ce qui ne convient pas car 11 n'est pas un nombre pair.
Si x=15 alors 87=15×7−9×2 ce qui donnerait x=15 et y=9 ce qui neconvient pas car x+y=24 ce qui dépasse le nombre de questions posées.
Il est inutile de continuer à essayer des valeurs supérieures pour x car y serait encore plus grand.
Conclusion:Clément a eu 13 bonnes réponses et 2 erreurs. Il a donc répondu à 15 questions sur les 20 proposées.