Je suis un nombre composé de deux chiffres.
Quand on additionne mes deux chiffres, on trouve ma moitié.
Quand on permutte mes deux chiffres, on trouve le carré de ma moitié.
Qui suis-je ?
Notons a le chiffre des dizaines et b le chiffre des unités.
Le nombre N cherché est donc N=10a+b.
Quand on additionne mes deux chiffres, on trouve ma moitié.
a+b=10a+b2a+b=10a+b2⟺2(a+b)=10a+b⟺2a+2b=10a+b⟺b=8a
Quand on permutte mes deux chiffres, on trouve le carré de ma moitié.
En permutant les chiffres, le nombre devient ba, soit 10b+a.Ainsi : 10b+a=(10a+b2)210b+a=(10a+b2)2⟺10b+a=(10a+b)24⟺4(10b+a)=(10a+b)2⟺40b+4a=100a2+20ab+b2⟺100a2+20ab+b2−40b−4a=0⟺100a2+20a×8a+(8a)2−40×8a−4a=0⟺100a2+160a2+64a2−320a−4a=0⟺324a2−324a=0⟺324a(a−1)=0⟺a=0 ou a=1
a=0 donne b=0 ainsi N=0, nombre qui n'a pas deux chiffres. Il est donc rejeté. a=1 donne b=8a=8 ainsi N=10a+b=18.
Conclusion: le problème a une seule solution N=18.
