Des fourmis se déplacent, en ligne droite, à la queue leu leu, à vitesse constante, en formant une colonne de 50 cm de long. La dernière fourmi du groupe décide d’aller ravitailler la fourmi chef, et pour cela elle rejoint la tête de la colonne puis, sa mission étant accomplie, retourne aussitôt à la queue de la colonne.
Sachant que, pendant cet aller-retour, la vitesse de cette fourmi est restée constante et que la colonne a parcouru 50 cm, quelle est la distance parcourue par la fourmi ravitailleuse ?
Soit $v$ la vitesse de la colonie de fourmis en centimètres par seconde,
$V$ la vitesse de la fourmi,
$t_1$ le temps aller de la fourmi en secondes
et $t_2$ le temps de retour.
La distance aller est $d_1=Vt_1=vt_1+50$.
La distance retour est $d_2=Vt_2=50-vt_2$.
On en déduit $t_1=\dfrac{50}{V-v}$ et $t_2=\dfrac{50}{V+v}$.
On a donc $$50= \dfrac{50}{V-v}+\dfrac{50}{V+v}$$
En posant $X=\dfrac{V}{v}$, on a : $X^2-2X-1=0$
Cette équation a deux solutions : $X=1\pm\sqrt 2$ . On ne retient que $X=1+\sqrt 2$ car $1-\sqrt 2<0$ et $ \dfrac{V}{v}> 0$.
On déduit donc $X=(1+\sqrt2) $, ce qui donne $V=(1+\sqrt 2) v$.
La distance parcourue est $50(1+\sqrt 2)$ cm.
