Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels tels que : $n – 52 = a ^2$ (1) et $ n + 52 = b ^2$ (2).
(2) – (1) donne : $104 = b ^2 - a ^2$ , qui équivaut à : $( b – a ) ( b + a ) = 104$.
Donc $b − a$ et $b + a$ sont des diviseurs de 104 (avec $b – a < b + a $).
$$104 = 2^3 \times 13.$$
Ainsi, $104$ peut s'écrire sous la forme des produits suivants :
$$104 = 1 \times 104$$
$$104 = 2 \times 52$$
$$104 = 4 \times 26$$
$$104 = 8 \times 13$$
Les couples $( b – a ; b + a )$ sont donc à choisir parmi les couples suivants :
$(1 ; 104) , (2 ; 52) , ( 4 ; 26 )$ et $( 8 ; 13)$.
Cependant, $(b – a ) + (b + a ) = 2 b$ donc la somme des deux nombres d'un couple doit être paire :
$1 + 104 = 105 $ qui est impair donc le couple $(1 ; 104)$ de convient pas.
De même, $8 + 13 = 21$ est impair donc $( 8 ; 13 )$ ne convient pas.
Par contre, $2 + 52 = 54$ est pair et $4 + 26 = 30$ est pair donc les deux couples $(2 ; 52)$ et
$(4 ; 26) $peuvent convenir.
Déterminons $a$ et $b$ , puis l'entier $n$ , pour chaque couple :
Dans le cas $(2 ; 52)$ , on résout le système :
$\left\lbrace
\begin{array}{l}
b-a= 2\\
b+a=52
\end{array}
\right. $
En additionnant les deux lignes, on trouve : $2 b = 54$ d'où $b = 27$.
La deuxième ligne équivaut à : $a = 52 – b$ , d'où $a = 25$.
L'égalité (1) donne : $n = a^2 + 52$ soit $n = 25^2 + 52 = 677$
On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : $n = b^2 - 52$ soit $n = 27^2 - 52 = 677$.
Dans le cas $(4 ; 26)$ , on résout le système : $\left\lbrace
\begin{array}{l}
b-a= 4\\
b+a=26
\end{array}
\right. $
En additionnant les deux lignes, on trouve : $2 b = 30$ d'où $b = 15$.
La deuxième ligne équivaut à : $a = 26 – b$ , d'où $a = 11$.
L'égalité (1) donne : $n = a ^2 + 52$ soit $n = 11^2 + 52 = 173$.
On vérifie que l'égalité (2) donne le même nombre : $n = b ^2 - 52$ soit $n = 15^2 - 52 = 173$.
Finalement, il n'existe que deux entiers naturels qui vérifient la condition : $173$ et $677$.
