Un éleveur de Math-City conduit des vaches le long du fleuve. Chaque vache lui coûte 15 € de nourriture par jour, et lui-même a des dépenses personnelles quotidiennes de 30 €. Chaque soir, il dépose une vache dans la localité où il passe ; son troupeau diminue donc d’une unité. Après avoir déposé sa dernière vache, il fait son bilan et se dit : « Tiens, le nombre d’euros que j’ai dépensés est le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10. » Combien le troupeau comportait-il de vaches au départ ?
Le plus petit nombre qui est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 et par 10 est :
$$2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 7 \times 3 = 2 520 $$
C’est donc la somme dépensée par l’éleveur.
Le dernier jour, il a dépensé 15 € pour sa vache et 30 € pour lui, soit au total $15 + 30$.
L’avant-dernier jour, il avait encore deux vaches.
Sa dépense était égale à $2 \times 15 + 30$.
Et le jour précédent,$ 3 \times 15 + 30$.
Et ainsi de suite.
Si $n$ désigne le nombre de vaches au départ, et donc le nombre de jours qu’a duré le voyage, la dépense totale (2 520€) est :
$$(1 + 2 + 3 + \cdots+ n)\times 15 + 30 n $$
On a donc : $$\dfrac{n(n + 1)}{2}\times 15 + 30 n = 2 520$$
Ce qui se simplifie en : $$n^2 + 5 n - 336 = 0 $$
D’où $n = 16$. Le troupeau comprenait 16 vaches au départ.
